Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird in vereinfachter Form als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, wobei Folgendes gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im gewählten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an.

b)(3)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist.

c)(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, welchen Abstand die Ebene $E_{JKL}$ von der Ebene $E_{\text{Laser}}$ hat.

c)(4)

Es werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, abgegeben.

Bestimmen Sie rechnerisch, für welches $a$ ein Laserstrahl entsteht, der mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

d) Von Punkt $G$ aus verlaufen Laserstrahlen entlang der Geraden $$g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} k-15 \\ -23 \\ \sqrt{4-k^2}-4 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R} \text{ mit } -2 \le k \le 2$$ ausgesandt. Diese Strahlen gelangen zur Wandfläche $AEFB$ mit $E_{AEFB}: x_2 = 0$.

(1)

Bestimmen Sie die von $k$ abhängigen Koordinaten der Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Wandfläche $AEFB$ erreichen.

Zeigen Sie, dass der Abstand der Punkte $S_k$ vom Punkt $M(5|0|5)$ nicht von $k$ abhängt.

(2)

Für $-2 \le k \le 2$ bilden die Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen die Leinwand erreichen, eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass diese ein nach unten geöffneter Halbkreis ist.