Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

In Deutschland werden E-Scooter (Elektro-Roller) immer beliebter. Wie lange ein einzelner E-Scooter im Einsatz ist, hängt jedoch stark davon ab, ob er verliehen oder privat genutzt wird. Ersten Studien zufolge ist ein Leihfahrzeug im Mittel nur 30 Tage in Gebrauch, ein privat genutzter E-Scooter dagegen durchschnittlich 365 Tage.

In dieser Aufgabe heißen alle Personen, die ab und zu einen E-Scooter fahren, E-Scooter-Nutzende. Zur Vereinfachung sei im Folgenden angenommen, dass die Zufallsgröße $X$, welche die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden in einer zufällig gewählten Personengruppe beschreibt, binomialverteilt ist.

Vor allem in Großstädten sind E-Scooter im Einsatz. In einer deutschen Großstadt nutzt eine zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ gelegentlich einen E-Scooter. Dort werden 200 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie gelegentlich einen E-Scooter nutzen.

Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für $n = 200$ und $p = 0{,}1$:

Ein E-Scooter-Hersteller möchte bekannter werden und den Anteil der E-Scooter-Nutzenden steigern. Dazu lässt er in vielen Städten Gutscheine für eine kostenlose Probefahrt verteilen. Eine Gruppe von acht Freunden bekommt insgesamt 20 Gutscheine, die folgendermaßen aufgeteilt werden:

Jeder der acht Freunde notiert seinen Namen auf einem Zettel, und alle Zettel werden in eine Lostrommel gegeben. Daraus wird 20-mal mit Zurücklegen gezogen. Bei jedem Zug erhält die Person, deren Name gezogen wurde, einen Gutschein.

Nach diesem Verfahren kann also jeder der Freunde keinen oder bis zu 20 Gutscheine bekommen.

Es sei $E$ das Ereignis: „Eine ausgewählte Person erhält genau einen Gutschein.“

Die Werbekampagne soll auch in einer weiteren deutschen Großstadt stattfinden, in der die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, derzeit nur $6\,\%$ beträgt. Nach der Kampagne sollen 150 zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt werden, um zu testen, ob die Kampagne erfolgreich war. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man fälschlicherweise eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ und damit einen Erfolg der Kampagne annimmt, soll höchstens $5\,\%$ betragen.

Die in c) dargestellte Werbekampagne wird auch in einer weiteren deutschen Großstadt umgesetzt. Dort liegt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig gewählte Person gelegentlich einen E-Scooter nutzt, aktuell nur bei 6 %. Nach der Kampagne werden 150 zufällig ausgewählte Personen dieser Stadt befragt, um zu prüfen, ob die Kampagne Erfolg hatte. Die Wahrscheinlichkeit, dass man irrtümlich eine erhöhte Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ annimmt und damit einen Erfolg der Kampagne unterstellt, darf höchstens 5 % betragen.

Gesucht ist das größtmögliche Intervall, in dem die Anzahl der E-Scooter-Nutzenden unter den befragten Personen liegen darf, damit man unter Einhaltung der 5 %-Vorgabe von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit $p > 0{,}06$ sprechen kann.

(1)

Ermitteln Sie das Intervall, nach dem gefragt ist.

Angenommen, die Maßnahme möge erfolgreich gewesen sein und für die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine zufällig ausgewählte Person gelegentlich einen E-Scooter benutzt, gelte $p > 0{,}06$. Darüber hinaus betrage die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem in (1) ermittelten Intervall fälschlicherweise auf einen Misserfolg der Werbekampagne schließt, höchstens 20 %.

(2)

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $p$ mit zwei Nachkommastellen mit $0{,}06 < p \leq 1{,}00$, für den diese Annahmen zutreffen.