Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{ax} + 1 \text{ mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ sowie für $a = -1$.

Teilaufgabe b

b) (1)

Zeigen Sie: $f_a'(x) = 2ae^{ax} \cdot (1 + ax)$. [2 Punkte]

Im Weiteren dürfen Sie ohne Nachweis verwenden:

Die zweite Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a''(x) = 2a^2 \cdot e^{ax} \cdot (2 + ax)$.

b) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, abhängig von $a$, die lokalen Extremstellen von $f_a$ sowie deren Art. [6 Punkte]

b) (3)

Es existieren zwei Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, die sich um 1 unterscheiden, sodass der Graph der Funktion $f_{0{,}5}$ in den Punkten $(s \mid f_{0{,}5}(s))$ und $(t \mid f_{0{,}5}(t))$ dieselbe Steigung besitzt. Bestimmen Sie $s$ und $t$ gerundet auf zwei Nachkommastellen und geben Sie die Steigung des Graphen von $f_{0{,}5}$ an diesen Stellen an. [4 Punkte]

Teilaufgabe d

Für jedes $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$. [Hinweis: Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Mit $d_a$ wird die Entfernung zwischen dem Wendepunkt $W_a$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der $y$-Achse bezeichnet.

d) (1)

Berechnen Sie einen Parameterwert $a$, für den $d_a = 5$ gilt. [4 Punkte]

d) (2)

(i) Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes bei wachsendem $a$ ändert. [3 Punkte]

(ii) Für $a > 0$ strebt der Abstand $d_a$ bei immer größer werdendem $a$ gegen einen festen Wert. Geben Sie diesen Wert an. [1 Punkt]

Es sei nun $a = -2$. Der Graph von $t_{-2}$ ist die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}$; sie wird im Weiteren Wendetangente genannt.

d) (3)

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung der Funktion $t_{-2}$. [4 Punkte]

Teilaufgabe e

Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ die gleiche Steigung haben.

In Abbildung 3 sind die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$ dargestellt.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Der Graph von $k$ geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem dieser nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschoben wird.

Ermitteln Sie rechnerisch, welche Verschiebungen den Graphen von $f_1$ in den Graphen von $k$ überführen, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an. [Hinweis: Der Funktionsterm von $k$ muss nicht vereinfacht werden.] [6 Punkte]