Exámenes de Matemáticas I UB 2021
El examen de Matemáticas I de la UB (Grado en Química) de 2021 (Recull d'exàmens de Matemàtiques I (2022-2023)), con 44 problemas resueltos. Entran temas como Diagonalització de matrius reals y Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Recull d'exàmens de Matemàtiques I (2022-2023) (2021)
Temas del examen: Diagonalització de matrius reals · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre · Sistemes d'equacions diferencials lineals · Càlcul diferencial en diverses variables · Extrems de funcions de diverses variables · Integrals múltiples · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
- Ejercicio 1 - Diagonalització de matrius reals · Diagonalització de matrius reals
Exercici 1 apartat a: Proveu que A és una matriu diagonalitzable. Determineu una matriu invertible C i una matriu diagonal D tals que A = C D C^(-1). - Ejercicio 1 - Sistemes d'equacions diferencials lineals · Sistemes d'equacions diferencials lineals
Exercici 1 apartat b: Resoleu el sistema d'equacions diferencials lineals x' = x + 2y - 2z, y' = 2y, z' = 3y - z. - Problema 2 · Extrems de funcions de diverses variables
Siguin f(x, y, z) = z^2 e^(xy) i D = {x^2 + y^2 + z^2 = 1}. a) Justifiqueu que f assoleix màxims i mínims absoluts sobre D i calculeu-los. b) Trobeu els extrems relatius de f en M = {x^2 + y^2 + z^2… - Problema 3 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Sigui F(x,y) = (2x^3y^4 + x, 2x^4y^3 + y). Comproveu que és conservatiu, trobeu una funció potencial i calculeu la integral de línia al llarg de sigma(t) = (-1 + t*cos(pi*t), sin(pi*t/2)) per a t de… - Ejercicio 4 - Diagonalització de matrius reals · Diagonalització de matrius reals
Raoneu si és cert o fals: Qualsevol matriu 3 x 3 a coeficients reals que tingui únicament arrels reals en el seu polinomi característic, diagonalitza a R. - Ejercicio 4 - Integrals de línia, camps conservatius i teor… · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Raoneu si és cert o fals: Si F és C^1 en tot R² i dP/dy = dQ/dx, la circulació de F al llarg de la circumferència unitat és 0. - Ejercicio 4 - Extrems de funcions de diverses variables · Extrems de funcions de diverses variables
Raoneu si és cert o fals: Si D és un compacte i F és contínua, els màxims i mínims absoluts de F sempre s'assoleixen a la frontera de D. - Ejercicio 5 - Integrals múltiples · Integrals múltiples
Calculeu el volum del cilindroide amb base D = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 2, y ≤ 0} i tancat superiorment per z = y + 2. - Ejercicio 5 - Integrals de línia, camps conservatius i teor… · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Calculeu la integral de línia del camp F(x, y) = (y e^(xy) - 6y, x e^(xy) + 3yx) al llarg de la vora de D recorreguda en sentit antihorari. - Problema 6 · Diagonalització de matrius reals
Sigui A una matriu 3x3 amb paràmetre alpha. Trobeu el polinomi característic, els valors propis, demostreu quan és diagonalitzable i trobeu la matriu de pas per a alpha = 7. - Problema 7 · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre
Resoldre l'EDO lineal de segon ordre y'' - 5y' + 4y = e^{4x}: comprovar una solució particular yp(x) = ((x+3)/3)e^{4x}, trobar la solució general i resoldre el PVI amb y(0) = 0 i y'(0) = 0. - Problema 8 · Extrems de funcions de diverses variables
Estudi d'extrems absoluts d'una funció f(x,y) en un domini el·líptic tancat i fitat pel teorema de Weierstrass, i determinació dels valors màxim i mínim absoluts. - Problema 9 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Estudi del caràcter conservatiu dels camps F i G, càlcul de la funció potencial de F i càlcul de la circulació de tots dos camps sobre la circumferència unitat. - Ejercicio 10 - Integrals de línia, camps conservatius i teo… · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Calcular la integral de línia del camp vectorial F(x, y) = (x^2 + y^2, x) sobre la vora de la regió plana D aplicant el teorema de Green. - Ejercicio 10 - Integrals múltiples · Integrals múltiples
Calcular el volum del cilindroide de base D i sostre G(x, y) = x^2 * sqrt(x^2 + y^2) mitjançant una integral doble en coordenades polars. - Problema 11 · Diagonalització de matrius reals
Donada la matriu simètrica 4x4 A amb files (2,0,0,0), (0,1,0,1), (0,0,2,0) i (0,1,0,1): a) Trobeu el polinomi característic. b) Determineu una base de vectors propis. c) Diagonalitzeu ortogonalment A… - Problema 12 · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre
Demostreu que y(x) = x - 2/x és solució de xy' + y - 2x = 0 i trobeu la solució general de l'EDO lineal de segon ordre y'' - 3y' + 2y = e^{2x}(x + 1). - Problema 13 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Determinar si F i G són conservatius, trobar la funció potencial si s'escau i calcular la integral de línia al llarg de la vora del triangle de vèrtexs (0,0), (1,0) i (0,1). - Ejercicio 14 - Diagonalització de matrius reals · Diagonalització de matrius reals
Determinar si una matriu diagonalitzable amb valors propis diferents pot tenir com a subespais propis associats E_1 = <(1,0,0)>, E_2 = <(0,0,1)> i E_3 = <(1,0,1)>. - Ejercicio 14 - Extrems de funcions de diverses variables · Extrems de funcions de diverses variables
Determinar si és certa o falsa l'afirmació: «la funció f(x,y,z) = (xy - 1)/z assoleix màxims i mínims absoluts sobre D = {x^2 + y^2 + z^2 <= 1}». - Ejercicio 15 - Càlcul diferencial en diverses variables · Càlcul diferencial en diverses variables
Calculeu la composició G ∘ F dels camps vectorials i indiqueu raonadament si està ben definida F ∘ G. - Ejercicio 15 - Extrems de funcions de diverses variables · Extrems de funcions de diverses variables
Calculeu els extrems absoluts de G ∘ F sobre la superfície esfèrica x^2 + y^2 + z^2 = 9. - Problema 16 · Diagonalització de matrius reals
Es considera la matriu simètrica A de 3x3. a) Calculeu el polinomi característic i els valors propis de A. b) Trobeu una base de vectors propis de A. c) Diagonalitzeu ortogonalment A trobant una… - Problema 17 · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre
Resoleu el problema de valor inicial: y'' + 4y' + 4y = 3e^(-3x), y(0) = 0, y'(0) = -9. - Problema 18 · Extrems de funcions de diverses variables
Trobeu els màxims i mínims de f(x, y, z) = yz + xy restringida a xy = 1 i y^2 + z^2 = 1. - Ejercicio 19 - Diagonalització de matrius reals · Diagonalització de matrius reals
Responeu justificant la resposta si l'afirmació següent és certa o falsa: Si A és una matriu real d'ordre 3 x 3 i det(A) = 0, aleshores lambda = 0 és sempre un valor propi de la matriu A. - Ejercicio 19 - Extrems de funcions de diverses variables · Extrems de funcions de diverses variables
Determinar si l'afirmació és certa o falsa i justificar la resposta: Si f : R³ → R és un camp escalar diferenciable i a ∈ R³ és un màxim relatiu de f, aleshores necessàriament ∇f(a) = 0. - Problema 20 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Calcular la integral de línia del camp vectorial F(x,y) = (-x^2 + e^x ln y, x + y^2 + e^x/y) al llarg del contorn del triangle de vèrtexs (0,0), (3,0) i (3,2) recorregut en sentit antihorari. - Problema 21 · Diagonalització de matrius reals
Estudi de la diagonalitzabilitat de la matriu real A de 3x3 i de l'existència d'una base ortogonal de vectors propis. - Problema 22 · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre
Trobeu la solució de l'equació diferencial lineal de primer ordre (1/2)xy' + y = 1/x^2 amb la condició inicial y(1) = 1. - Problema 23 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Calculeu la integral de línia ∫_C F·dσ fent servir el Teorema de Green per al camp F(x, y) donat sobre la frontera del conjunt D = {2 ≤ x ≤ 3, √(x-2) ≤ y ≤ 2x}. - Problema 24 · Extrems de funcions de diverses variables
Sigui el camp escalar f(x, y) = (x^2 + y^2)e^(-y). a. Calculeu els extrems relatius de f a R^2. b. Calculeu els extrems absoluts de f en el cercle tancat D = {(x, y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 9}. - Problema 25 · Diagonalització de matrius reals
Per a la matriu A depenent d'alfa: a) Calculeu els valors propis i multiplicitats. b) Estudieu quan és diagonalitzable. c) Decidiu si és definida positiva, negativa o indefinida per a alfa = -1 i… - Problema 26 · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre
Resoleu l'equació diferencial lineal de segon ordre no homogènia: y'' + y = e^x cos(x). - Problema 27 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Sigui F(x, y) = (y² cos(xy) + 2x, sin(xy) + yx cos(xy)). Demostreu que F és conservatiu, trobeu una funció potencial Φ(x,y) i calculeu la integral de línia sobre la corba σ(t) = (sin(πt/2), (1 -… - Problema 28 · Extrems de funcions de diverses variables
Justificació de compacitat del disc D = {x^2 + y^2 <= 2} i determinació dels extrems absoluts de f(x, y) = e^(xy). - Problema 29 · Diagonalització de matrius reals
Considerem la matriu real A = (1 0 2; 0 2 0; 2 0 1). a. Calculeu el polinomi característic i els valors propis de A. b. Justifiqueu que la matriu A diagonalitza. c. Trobeu una matriu invertible C tal… - Problema 30 · Sistemes d'equacions diferencials lineals
Resolució d'un sistema lineal d'equacions diferencials no homogeni x' = x + y + t, y' = t. Es demana trobar la solució del sistema homogeni associat, una solució particular del sistema no homogeni i… - Problema 31 · Extrems de funcions de diverses variables
Calcular i classificar tots els màxims, mínims i punts de sella de la funció f(x, y, z) = z^3/3 + x^2/2 + y^2/2 + z^2/2 + 2y + 10 a R^3. - Problema 32 · Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green
Calculeu el valor de la integral de línia de F(x, y) = (y^2, 3xy) al llarg del contorn tancat del semianell superior entre radis 1 i 2 orientat en sentit antihorari. - Problema 33 · Diagonalització de matrius reals
Estudi de la diagonalitzabilitat de la matriu A en funció del paràmetre a: càlcul del polinomi característic i valors propis, condició sobre a per a ser diagonalitzable, i càlcul de les matrius C i D… - Problema 34 · Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre
Es considera l'equació diferencial 2y'' + 2y' + y = 5cos(x/2). a) Comproveu que yp(x) = 4sin(x/2) + 2cos(x/2) és solució particular. b) Trobeu la solució de l'equació diferencial homogènia. c)… - Problema 35 · Extrems de funcions de diverses variables
Càlcul d'extrems lliures de f(x,y,z) a R³ completant quadrats, i extrems condicionats sobre l'esfera x²+y²+z²=7 amb multiplicadors de Lagrange. - Problema 36 · Integrals múltiples
Càlcul de la integral doble de x²·e^(xy) sobre el triangle amb vèrtexs (0,0), (2,0) i (2,1).
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Diagonalització de matrius reals · 16 problemas · 65 % de que salga
- Integrals de línia, camps conservatius i teorema de Green · 19 problemas · 50 % de que salga
- Extrems de funcions de diverses variables · 16 problemas · 50 % de que salga
- Equacions diferencials ordinàries de primer i segon ordre · 11 problemas · 50 % de que salga
- Integrals múltiples · 7 problemas · 45 % de que salga
- Sistemes d'equacions diferencials lineals · 5 problemas · 45 % de que salga