Problema 3 · Matemáticas I UB 2021

Examen 11/01/2022 - Exercici 3 (2,5 punts). Camp conservatiu i circulació

Sigui $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ el camp vectorial definit per:$$F(x,y) = (2x^3y^4 + x, 2x^4y^3 + y)$$

a.

Comproveu que $F$ és un camp conservatiu calculant les derivades parcials creuades $\frac{\partial P}{\partial y}$ i $\frac{\partial Q}{\partial x}$:

b.

Troba una funció potencial associada a $F$ (prenent la constant d'integració $C = 0$):

c.

Calculeu la integral de línia $\int_C F \cdot d\sigma$ al llarg de la corba $\sigma(t) = (-1 + t\cos(\pi t), \sin(\pi t/2))$ per a $t \in [0, 1]$.