Examen de Matemáticas I UB 2021 · Recull d'exàmens de Matemàtiques I (2022-2023)

Es considera la següent matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$

a.

Proveu que $A$ és una matriu diagonalitzable. Determineu una matriu invertible $C$ i una matriu diagonal $D$ tals que $A = CDC^{-1}$.

Escriviu la vostra justificació teòrica de la diagonalitzabilitat de $A$ i el càlcul detallat dels valors i vectors propis per trobar les matrius $C$ i $D$:

Es considera la següent matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$

b.

Resoleu el sistema d'equacions diferencials lineals:$$\begin{cases} x' = x + 2y - 2z \\ y' = 2y \\ z' = 3y - z \end{cases}$$

Desenvolupeu la solució general per components $x(t)$, $y(t)$ i $z(t)$ en funció de les constants $c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$:

Siguin el camp escalar $f(x, y, z) = z^2 e^{xy}$ i el conjunt $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$.

a.

Justifiqueu que la funció $f$ assoleix màxims i mínims absoluts sobre el conjunt $D$ i calculeu-los.

b.

Trobeu els extrems relatius de la funció $f$ en el domini obert $M = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 < 1\}$.

Descriviu els punts crítics i la naturalesa dels extrems relatius a l'interior $M$:

Examen 11/01/2022 - Exercici 3 (2,5 punts). Camp conservatiu i circulació

Sigui $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ el camp vectorial definit per:$$F(x,y) = (2x^3y^4 + x, 2x^4y^3 + y)$$

a.

Comproveu que $F$ és un camp conservatiu calculant les derivades parcials creuades $\frac{\partial P}{\partial y}$ i $\frac{\partial Q}{\partial x}$:

b.

Troba una funció potencial associada a $F$ (prenent la constant d'integració $C = 0$):

c.

Calculeu la integral de línia $\int_C F \cdot d\sigma$ al llarg de la corba $\sigma(t) = (-1 + t\cos(\pi t), \sin(\pi t/2))$ per a $t \in [0, 1]$.

Raoneu detalladament si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

a.

Qualsevol matriu $3 \times 3$ a coeficients reals que tingui únicament arrels reals en el seu polinomi característic, diagonalitza a $\mathbb{R}$.

Cert

Fals

Raoneu detalladament si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

b.

Sigui $F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$ un camp vectorial de classe $C^1$ en tot $\mathbb{R}^2$. Si $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$, aleshores $\int_C F \cdot d\sigma = 0$, essent $C$ la circumferència centrada a l'origen de radi 1.

Cert

Fals

Raoneu detalladament si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

c.

Sigui $D \subset \mathbb{R}^n$ un subconjunt compacte i $F: D \rightarrow \mathbb{R}$ una funció contínua. Aleshores, els màxims i mínims absoluts de $F$ sempre s'assoleixen a la frontera de $D$.

Cert

Fals

Donada la regió plana $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 2, \, y \le 0\}$, calculeu:

a. Calculeu el volum del cilindroide amb base $D$ i tancat superiorment per la superfície $z = y + 2$.

Donada la regió plana $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 2, \, y \le 0\}$, calculeu:

b. Calculeu la integral de línia del camp $F(x, y) = (ye^{xy} - 6y, xe^{xy} + 3yx)$ al llarg de la vora de $D$ recorreguda en sentit antihorari.

Sigui $\alpha \in \mathbb{R}$ i considerem la matriu:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & \alpha & 4 \\ 0 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu el polinomi característic i els valors propis de $A$ segons el paràmetre $\alpha$.

b)

Demostreu que si $\alpha \neq 3$ i $\alpha \neq 7$, aleshores la matriu $A$ és diagonalitzable.

c)

Per a $\alpha = 7$, trobeu una matriu invertible $C$ i una matriu diagonal $D$ tals que $C^{-1}AC = D$.

Exercici 2 (2,5 punts). EDO lineal de segon ordre

Es considera l'equació diferencial lineal de segon ordre:

$$y'' - 5y' + 4y = e^{4x}$$

a)

Comproveu que la funció $y_p(x) = \frac{x+3}{3}e^{4x}$ n'és una solució particular.

b)

Trobeu la solució general d'aquesta equació diferencial.

c)

Calculeu la solució del problema de valor inicial amb condicions $y(0) = 0$ i $y'(0) = 0$.

Reavaluació 04/02/2022 - Exercici 3 (2 punts). Extrems sobre el·lipse

Siguin el camp escalar $f(x, y) = 2y - 4y^2 - x^2 + 4$ i la regió $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 2x^2 + y^2 \le 4\}$.

a)

Raoneu per què $f$ assoleix màxims i mínims absoluts en $D$.

b)

Determineu el màxim i el mínim absolut de la funció $f$ en el conjunt $D$.

Reavaluació 04/02/2022 - Exercici 4 (2,25 punts). Camps vectorials i circulació

Es consideren els camps vectorials:$$F(x, y) = (3x^2 + y, e^y + x), \quad G(x, y) = \left(-\frac{y}{2}, \frac{x}{2}\right)$$

a)

Indiqueu si són conservatius i, en cas que ho siguin, determineu-ne una funció potencial.

Sí

No

Sí

No

b)

Calculeu la integral de línia de cadascun dels camps $F$ i $G$ al llarg de la circumferència de radi 1 centrada a l'origen en sentit antihorari.

Reavaluació 04/02/2022 - Exercici 5a. Teorema de Green

Sigui $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 1,\, y \ge x\}$ la regió plana compresa entre el disc unitat i el semiplà superior determinat per la recta $y = x$.

a)

Calculeu la integral de línia del camp vectorial $F(x, y) = (x^2 + y^2, x)$ sobre la vora de $D$ recorreguda en sentit antihorari.

Reavaluació 04/02/2022 - Exercici 5b. Volum

Sigui $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 1,\, y \ge x\}$ la regió plana compresa entre el disc unitat i el semiplà superior determinat per la recta $y = x$.

b)

Calculeu el volum del cilindroide de base $D$ i sostre donat pel camp escalar $G(x, y) = x^2\sqrt{x^2 + y^2}$.

Exercici 1 [3 punts]. Diagonalització ortogonal matriu 4×4

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu el polinomi característic de la matriu $A$.

b)

Determineu una base de vectors propis de $A$.

c)

Diagonalitzeu ortogonalment la matriu $A$ trobant una matriu ortogonal $P$ tal que $P^{-1} A P = D$ sigui diagonal.

Exercici 2 (2 punts). Resolució d'equacions diferencials

a.

Demostreu que la funció $y(x) = x - 2/x$ és solució de l'equació diferencial $xy' + y - 2x = 0$.

b.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial lineal de segon ordre:

$$y'' - 3y' + 2y = e^{2x}(x + 1)$$

Exercici 3 (2 punts). Integral de línia sobre triangle

Es consideren els camps vectorials:

$$F(x,y) = (2ye^{-y},\, 2xe^{-y} - 2xye^{-y} + \cos(y/2)), \quad G(x,y) = (x^2,\, xy)$$

a.

Indiqueu si són o no conservatius i determineu la funció potencial si s'escau.

Sí

No

Sí

No

b.

Calculeu la integral de línia dels camps $F$ i $G$ al llarg de la vora del triangle de vèrtexs $(0,0)$, $(1,0)$ i $(0,1)$ en sentit antihorari.

Final 13/06/2022 - Exercici 4 (2 punts). Qüestions de subespais i compacitat

a.

Sigui $A$ una matriu diagonalitzable amb valors propis diferents $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. Poden ser els subespais propis associats $E_1 = \langle(1,0,0)\rangle$, $E_2 = \langle(0,0,1)\rangle$ i $E_3 = \langle(1,0,1)\rangle$? Raoneu la resposta.

Sí

No

Final 13/06/2022 - Exercici 4 (2 punts). Qüestions de subespais i compacitat

b.

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ donada per $f(x, y, z) = \frac{xy - 1}{z}$ i sigui $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 \le 1\}$.

Digueu si és certa o falsa l'afirmació: «la funció $f$ assoleix màxims i mínims absoluts sobre $D$».

Certa

Falsa

Siguin els camps vectorials $F(x, y, z) = (e^x, 8y - 2z)$ i $G(u, v) = \frac{v}{2} + 2\ln u$.

a. Calculeu la composició $G \circ F$. Està ben definida la funció $F \circ G$?

1.

2.

Està ben definida la funció $F \circ G$? Raoneu la resposta:

Sí

No

Siguin els camps vectorials $F(x, y, z) = (e^x, 8y - 2z)$ i $G(u, v) = \frac{v}{2} + 2\ln u$.

b. Calculeu els extrems absoluts de $G \circ F$ sobre la superfície esfèrica $D = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 = 9\}$.

1.

2.

Reavaluació 07/07/2022 - Exercici 1 (3 punts). Diagonalització matriu simètrica

Es considera la matriu simètrica:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu el polinomi característic i els valors propis de $A$.

b)

Trobeu una base de vectors propis de $A$.

c)

Diagonalitzeu ortogonalment $A$ trobant una matriu ortogonal $P$ tal que $P^{-1}AP = D$ sigui diagonal.

Resoleu el problema de valor inicial següent:

$$y'' + 4y' + 4y = 3e^{-3x}, \quad y(0) = 0, \; y'(0) = -9$$

Trobeu els màxims i mínims de la funció $f(x, y, z) = yz + xy$ restringida a la corba d'intersecció $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: xy = 1, \; y^2 + z^2 = 1\}$.

a)

b)

Responeu justificant la resposta si les afirmacions següents són certes o falses:

a.

Si $A$ és una matriu real d'ordre $3 \times 3$ i $\det(A) = 0$, aleshores $\lambda = 0$ és sempre un valor propi de la matriu $A$.

Responeu justificant la resposta si les afirmacions següents són certes o falses:

b.

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ un camp escalar diferenciable. Si $a \in \mathbb{R}^3$ és un màxim relatiu de $f$, aleshores necessàriament $\nabla f(a) = 0$.

Exercici 5 [2 punts]

Considereu el camp vectorial $F(x,y) = (-x^2 + e^x \ln y,\, x + y^2 + e^x/y)$. Calculeu la integral de línia:$$\int_C F \cdot d\sigma$$on $C$ és la vora del triangle de vèrtexs $A = (0,0)$, $B = (3,0)$ i $C = (3,2)$ recorregut en sentit antihorari.

Considereu la següent matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}$$

a.

Calculeu els valors propis de $A$ i la seva multiplicitat algebraica.

b.

Determineu si $A$ és diagonalitzable i, si és així, trobeu una base de vectors propis.

c.

És possible calcular una base ortogonal de vectors propis de $A$? Justifiqueu la resposta.

Exercici 2 (2 punts). EDO de primer ordre

Trobeu la solució de l'equació diferencial lineal de primer ordre:

$$\frac{1}{2} x y' + y = \frac{1}{x^2}$$

amb la condició inicial $y(1) = 1$.

$y(x) =$

Exercici 3 (2 punts). Integral de línia amb Green

Calculeu la integral de línia $\int_C F \cdot d\sigma$ fent servir el Teorema de Green, on el camp vectorial és:$$F(x, y) = \left(2xy^2 + \frac{\sqrt[4]{\log(16 + x^4)}}{x^4}, -x^3y + \arctan\left(\frac{2y^4}{\sqrt{32 + y^4}}\right)\right)$$i $C$ és la frontera del conjunt $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 2 \le x \le 3, \sqrt{x-2} \le y \le 2x\}$ recorreguda en sentit antihorari.

Final 16/01/2023 - Exercici 4 (2 punts). Punts crítics i extrems al disc

Sigui el camp escalar $f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-y}$.

a.

Calculeu els extrems relatius de $f$ a $\mathbb{R}^2$.

b.

Calculeu els extrems absoluts de $f$ en el cercle tancat $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 9\}$.

Exercici 1 (3 punts). Diagonalització i signe de matriu

Considereu la següent matriu real depenent d'un paràmetre $\alpha \in \mathbb{R}$:$$A = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$

a)

Indiqueu els tres valors propis de $A$ (en funció de $\alpha$):

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

$\lambda_3 =$

b)

Per a quins valors de $\alpha$ la matriu $A$ és diagonalitzable?

c)

Decidiu el signe de la matriu $A$ segons els seus valors propis:

Per a $\alpha = -1$, la matriu és:

Definida positiva

Definida negativa

Indefinida

Per a $\alpha = 2$, la matriu és:

Definida positiva

Definida negativa

Indefinida

Exercici 2 (2 punts). EDO segon ordre no homogènia

Resoleu la següent equació diferencial:$$y'' + y = e^x \cos(x)$$

a)

Solució de l'equació homogènia associada $y_h(x)$ (amb constants $C_1, C_2$):

b)

Solució particular $y_p(x)$:

c)

Solució general $y(x)$:

Reavaluació 03/02/2023 - Exercici 3 (2,5 punts). Potencial i treball sobre corba

Sigui $F(x, y) = (y^2 \cos(xy) + 2x, \sin(xy) + yx \cos(xy))$.

a.

Demostreu que $F$ és un camp conservatiu i trobeu-ne una funció potencial.

b.

Calculeu la integral de línia de $F$ sobre la corba parametritzada per $\sigma(t) = (\sin(\pi t/2), (1 - t)e^t)$ amb $t \in [0, 1]$.

Siguin el camp escalar $f(x, y) = e^{xy}$ i el conjunt $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 2\}$.

a.

Demostreu que el conjunt $D$ és un subconjunt compacte de $\mathbb{R}^2$.

b.

Calculeu els màxims i mínims absoluts de $f$ en el conjunt $D$.

Exercici 1 (3,5 punts)

Considerem la següent matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu el polinomi característic i els valors propis de $A$.

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

$\lambda_3 =$

b)

Justifiqueu que la matriu $A$ diagonalitza:

c)

Trobeu una matriu invertible $C$ tal que $C^{-1}AC = D$ sigui diagonal amb $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = \mathrm{diag}(-1, 2, 3)$.

d)

Trobeu una matriu ortogonal $P$ tal que $P^{-1}AP = D$ sigui diagonal amb $D = \mathrm{diag}(-1, 2, 3)$.

Exercici 2. Sistema diferencial lineal no homogeni

Es considera el sistema d'equacions diferencials:

$$\begin{cases} x' = x + y + t \\ y' = t \end{cases}$$

a)

Trobeu la solució del sistema homogeni associat:

b)

Trobeu una solució particular del sistema no homogeni:

c)

Calculeu la solució del sistema que compleix les condicions inicials $x(0) = 0$ i $y(0) = 0$:

Exercici 3 (2 punts). Punts crítics i classificació

Sigui el camp escalar definit a $\mathbb{R}^3$ per:

$$f(x, y, z) = \frac{z^3}{3} + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + 2y + 10$$

Calculeu tots els màxims, mínims i punts de sella de $f$ a $\mathbb{R}^3$.

(

,

,

)

(

,

,

)

Calculeu el valor de la integral de línia $\oint_C F\cdot d\sigma$ del camp vectorial $F(x, y) = (y^2, 3xy)$, on $C$ és la vora recorreguda en sentit antihorari de la regió del semiplà superior $y \ge 0$ compresa entre les circumferències $x^2 + y^2 = 1$ i $x^2 + y^2 = 4$.

Considerem la matriu següent depenent del paràmetre $a \in \mathbb{R}$:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -3 & 4 & 9 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

a.

Calculeu el polinomi característic i els valors propis de $A$.

b.

Calculeu per a quins valors de $a$ la matriu és diagonalitzable i per a quins no.

c.

Diagonalitzeu la matriu quan $a = 0$ trobant una matriu invertible $C$ tal que $C^{-1}AC = D$ sigui diagonal.

Es considera l'equació diferencial:

$$2y'' + 2y' + y = 5\cos(x/2)$$

a.

Comproveu que $y_p(x) = 4\sin(x/2) + 2\cos(x/2)$ és una solució particular.

b.

Trobeu la solució de l'equació diferencial homogènia $2y'' + 2y' + y = 0$.

c.

Calculeu la solució general que satisfà les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 1/2$.

35 Reavaluació 06/07/2023 - Exercici 3 (2,5 punts). Extrems sobre esfera

Sigui el camp escalar $f(x, y, z) = -x^2 - y^2 - z^2 + 4x + 8y + 2z + 10$.

a)

Calculeu els màxims i els mínims de $f$ a $\mathbb{R}^3$.

b)

Calculeu els màxims i els mínims de $f$ sobre l'esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 7$.

36 Reavaluació 06/07/2023 - Exercici 4 (1,5 punts). Integral doble en triangle

Calculeu el valor de la següent integral doble:$$\iint_D x^2 e^{xy} \, dx \, dy$$on $D$ és la regió plana delimitada pel triangle amb vèrtexs $(0,0)$, $(2,0)$ i $(2,1)$.