Problema 16 · Matemáticas I UB 2021

a. Calculeu el polinomi característic de A

Solución: $p(\lambda) = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 21\lambda - 98 = -(\lambda + 2)(\lambda - 7)^2$

a. Valor propi simple λ_1

Solución: -2

a. Valor propi doble λ_2

Solución: 7

b. Trobeu una base de vectors propis de A

Solución: $v_1 = (-2, -1, 2)^T$, $v_2 = (1, 0, 1)^T$, $v_3 = (-1, 4, 1)^T$

c. Diagonalitzeu ortogonalment A trobant una matriu ortogonal P tal que P^{-1}AP = D sigui diagonal

Solución: $D = \operatorname{diag}(-2, 7, 7)$, $P = (u_1 | u_2 | u_3)$ amb $u_1 = (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3})^T$, $u_2 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})^T$, $u_3 = (-\frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}})^T$