Problema 6 · Matemáticas I UB 2021

Enunciado

Sigui $\alpha \in \mathbb{R}$ i considerem la matriu:

$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & \alpha & 4 \\ 0 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$

Trobeu el polinomi característic i els valors propis de $A$ segons el paràmetre $\alpha$ .

Demostreu que si $\alpha \neq 3$ i $\alpha \neq 7$ , aleshores la matriu $A$ és diagonalitzable.

Per a $\alpha = 7$ , trobeu una matriu invertible $C$ i una matriu diagonal $D$ tals que $C^{-1}AC = D$ .

Enunciado: Problema 6 · Matemáticas I UB 2021

Según los criterios oficiales de corrección

a. Polinomi característic de A

Solución: $(5 - \lambda)((\alpha - \lambda)^2 - 4)$ / $(5 - \lambda)(\alpha - \lambda - 2)(\alpha - \lambda + 2)$

a. Valors propis de A

Solución: $5$ , $\alpha - 2$ , $\alpha + 2$

b. Demostreu que si alpha != 3 i alpha != 7, aleshores la matriu A és diagonalitzable.

Solución: Els tres valors propis són reals i diferents si $\alpha \neq 3$ i $\alpha \neq 7$ , per la qual cosa $A$ és diagonalitzable.

c. Matriu diagonal D per a alpha = 7

Solución: $\operatorname{diag}(5, 5, 9)$

c. Matriu invertible C per a alpha = 7

Solución: $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

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