Problema 11 · Matemáticas I UB 2021

a) Trobeu el polinomi característic de la matriu A.

Solución: $p(\lambda) = -\lambda(\lambda - 2)^3$ / $\lambda(2 - \lambda)^3$

b) Determineu una base de vectors propis de A.

Solución: Base de vectors propis: $v_1 = (0, 1, 0, -1)^T$, $v_2 = (1, 0, 0, 0)^T$, $v_3 = (0, 0, 1, 0)^T$, $v_4 = (0, 1, 0, 1)^T$

c) Diagonalitzeu ortogonalment la matriu A trobant una matriu ortogonal P tal que P^{-1} AP = D sigui diagonal.

Solución: $D = \operatorname{diag}(0, 2, 2, 2)$ i $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$