Problema 2 · Matemáticas I UB 2021

Tema: Extrems de funcions de diverses variables · Del examen Recull d'exàmens de Matemàtiques I (2022-2023) (2021)

Enunciado

Siguin el camp escalar f(x,y,z)=z2exyf(x, y, z) = z^2 e^{xy} i el conjunt D={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2=1}D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 = 1\}.

a.

Justifiqueu que la funció ff assoleix màxims i mínims absoluts sobre el conjunt DD i calculeu-los.

b.

Trobeu els extrems relatius de la funció ff en el domini obert M={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2<1}M = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 < 1\}.

Descriviu els punts crítics i la naturalesa dels extrems relatius a l'interior MM:

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas I UB 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Valor del mínim absolut de f sobre D

Solución: 0

a. Valor del màxim absolut de f sobre D

Solución: 1

a. Justificació teòrica (Weierstrass, multiplicadors de Lagrange i punts on s'assoleixen)

Solución: Weierstrass garanteix existència perquè D és compacte i f contínua. Mínim 0 a l'equador (z=0). Màxim 1 a (0,0,1) i (0,0,-1) mitjançant multiplicadors de Lagrange.

b. Trobeu els extrems relatius de la funció f en el domini obert M = {(x, y, z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 < 1}

Solución: Tots els punts del disc {(x, y, 0) : x^2 + y^2 < 1} són mínims relatius (no estrictes). No hi ha cap extrem relatiu addicional.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Ejercicio 4 - Extrems de funcions de diverses variables · 2021 ›

Más ejercicios de Extrems de funcions de diverses variables