Problema 25 · Matemáticas I UB 2021

Exercici 1 (3 punts). Diagonalització i signe de matriu

Considereu la següent matriu real depenent d'un paràmetre $\alpha \in \mathbb{R}$:$$A = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$

a)

Indiqueu els tres valors propis de $A$ (en funció de $\alpha$):

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

$\lambda_3 =$

b)

Per a quins valors de $\alpha$ la matriu $A$ és diagonalitzable?

c)

Decidiu el signe de la matriu $A$ segons els seus valors propis:

Per a $\alpha = -1$, la matriu és:

Definida positiva

Definida negativa

Indefinida

Per a $\alpha = 2$, la matriu és:

Definida positiva

Definida negativa

Indefinida