Problema 29 · Matemáticas I UB 2021

Tema: Diagonalització de matrius reals · Del examen Recull d'exàmens de Matemàtiques I (2022-2023) (2021)

Enunciado

Exercici 1 (3,5 punts)

Considerem la següent matriu real:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calculeu el polinomi característic i els valors propis de $A$ .

$\lambda_1 =$

$\lambda_2 =$

$\lambda_3 =$

Justifiqueu que la matriu $A$ diagonalitza:

Trobeu una matriu invertible $C$ tal que $C^{-1}AC = D$ sigui diagonal amb $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = \mathrm{diag}(-1, 2, 3)$ .

Trobeu una matriu ortogonal $P$ tal que $P^{-1}AP = D$ sigui diagonal amb $D = \mathrm{diag}(-1, 2, 3)$ .

Enunciado: Problema 29 · Matemáticas I UB 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Polinomi característic p(λ)

Solución: $(2 - \lambda)[(1 - \lambda)^2 - 4] = (2 - \lambda)(\lambda + 1)(\lambda - 3)$

a. Valor propi menor λ₁

Solución: $-1$

a. Valor propi intermedi λ₂

Solución: $2$

a. Valor propi major λ₃

Solución: $3$

b. Justifiqueu que la matriu A diagonalitza.

Solución: Com que A és una matriu 3 × 3 amb 3 valors propis reals diferents, és automàticament diagonalitzable (a més és simètrica).

c. Matriu invertible C - fila 1, columna 1

Solución: $1$

c. Matriu invertible C - fila 1, columna 2

Solución: $0$

c. Matriu invertible C - fila 1, columna 3

Solución: $1$

c. Matriu invertible C - fila 2, columna 1

Solución: $0$

c. Matriu invertible C - fila 2, columna 2

Solución: $1$

c. Matriu invertible C - fila 2, columna 3

Solución: $0$

c. Matriu invertible C - fila 3, columna 1

Solución: $-1$

c. Matriu invertible C - fila 3, columna 2

Solución: $0$

c. Matriu invertible C - fila 3, columna 3

Solución: $1$

d. Matriu ortogonal P - fila 1, columna 1

Solución: $1/\sqrt{2}$ / $\sqrt{2}/2$

d. Matriu ortogonal P - fila 1, columna 2

Solución: $0$

d. Matriu ortogonal P - fila 1, columna 3

Solución: $1/\sqrt{2}$ / $\sqrt{2}/2$

d. Matriu ortogonal P - fila 2, columna 1

Solución: $0$

d. Matriu ortogonal P - fila 2, columna 2

Solución: $1$

d. Matriu ortogonal P - fila 2, columna 3

Solución: $0$

d. Matriu ortogonal P - fila 3, columna 1

Solución: $-1/\sqrt{2}$ / $-\sqrt{2}/2$

d. Matriu ortogonal P - fila 3, columna 2

Solución: $0$

d. Matriu ortogonal P - fila 3, columna 3

Solución: $1/\sqrt{2}$ / $\sqrt{2}/2$

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Enunciado

Solución

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