Problema 21 · Matemáticas I UB 2021

a. Calculeu els valors propis de A i la seva multiplicitat algebraica.

Solución: $\lambda_1 = 1$ (m.a. = 1), $\lambda_2 = 2$ (m.a. = 2)

Multiplicitat algebraica de $\lambda_1$

Solución: 1

Segon valor propi $\lambda_2$

Solución: 2

Multiplicitat algebraica de $\lambda_2$

Solución: 2

b. Determineu si A és diagonalitzable

Solución: Sí

b. Trobeu una base de vectors propis

Solución: $\{(1,0,0)^T, (0,-3,2)^T, (0,-2,1)^T\}$

c. És possible calcular una base ortogonal de vectors propis de A?

Solución: No

c. Justifiqueu la resposta

Solución: Els subespais propis d'una matriu només són ortogonals entre si de forma garantida si la matriu és normal (o simètrica en el cas real). En aquest cas, comprovem el producte escalar entre el vector de $E(1)$ i un de $E(2)$: $$\langle v_2, v_3 \rangle = \langle (0,-3,2), (0,-2,1) \rangle = (-3)(-2) + 2(1) = 6 + 2 = 8 \neq 0$$ Atès que $v_3$ no és ortogonal al subespai $E(2)$ (el qual té dimensió 2, i el seu ortogonal és una recta no continguda a $E(1)$), és impossible trobar una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$ formada per vectors propis de $A$.