Problema 28 · Matemáticas I UB 2021

Tema: Extrems de funcions de diverses variables · Del examen Recull d'exàmens de Matemàtiques I (2022-2023) (2021)

Enunciado

Siguin el camp escalar f(x,y)=exyf(x, y) = e^{xy} i el conjunt D={(x,y)∈R2:x2+y2≤2}D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 2\}.

a.

Demostreu que el conjunt DD és un subconjunt compacte de R2\mathbb{R}^2.

b.

Calculeu els màxims i mínims absoluts de ff en el conjunt DD.

Enunciado: Problema 28 · Matemáticas I UB 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu que el conjunt DD és un subconjunt compacte de R2\mathbb{R}^2.

Solución: El conjunt DD és tancat (antiimatge de l'interval tancat [0,2][0, 2] per la funció contínua g(x,y)=x2+y2g(x,y)=x^2+y^2) i fitat (∥(x,y)∥≤2\|(x,y)\| \le \sqrt{2}). Pel teorema de Heine-Borel, és compacte.

b. Valor màxim absolut de ff en el conjunt DD:

Solución: ee

b. Punts on s'assoleix el màxim absolut:

Solución: (1,1),(−1,−1)(1, 1), (-1, -1)

b. Valor mínim absolut de ff en el conjunt DD:

Solución: e−1e^{-1} / 1/e1/e

b. Punts on s'assoleix el mínim absolut:

Solución: (1,−1),(−1,1)(1, -1), (-1, 1)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 24 · 2021 · Problema 31 · 2021 ›

Más ejercicios de Extrems de funcions de diverses variables