Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Wird der Körper sportlich belastet, bildet sich in den Muskeln Laktat (Milchsäure). Ein Laktattest misst die Laktatwerte im Blut und gibt so Aufschluss über den Trainingszustand eines Sportlers. Beim Laktatstufentest erhöht der Sportler dafür in gleichmäßigen Zeitabständen seine Leistung, etwa auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \leq x \leq 45$ die Funktion $f$ mit $$f(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}01x^2+x-19\right)\cdot e^{0{,}11x}+1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x=0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert zu Beginn und zum Ende des Laktatstufentests.

(2)

Weisen Sie nach, dass die 1. Ableitung von $f$ lautet: $$f'(x)=\frac{1}{100}\left(-0{,}0011x^2+0{,}09x-1{,}09\right)\cdot e^{0{,}11x}.$$

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Laktatwert minimal ist, und geben Sie diesen Laktatwert an.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$.

[Kontrolllösung: $g: y=0{,}1846x+1{,}11$.]

(2)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt nach Verfahren A die IAS erreicht wird.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes $K$ auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

c)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y=-0{,}0109x+1{,}11$.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$]

(2)

Die mit diesem Verfahren ermittelte IAS wird nach 35,64 Minuten erreicht.

Ermitteln Sie die Entfernung zwischen dem dazugehörigen Punkt $K$ und $T$.