Aufgabe c - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ hat der Graph ein lokales Extremum.

(ii) $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

(iii) Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Gewählt wird folgender Ansatz:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \quad f'(x)=3ax^2+2bx+c \quad \text{und} \quad f''(x)=6ax+2b.$$Den Funktionsterm von $f$ erhält man über dieses Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} d &= 4 \\ 64a + 16b + 4c + d &= 0 \\ 12a + 4b + c &= 0 \\ 2b &= 0 \end{aligned}$$Begründen Sie unter Verwendung der Angaben (i), (ii) bzw. (iii), wie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems zustande kommen.

(2)

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems.