Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \text{ mit } x \in \mathbb{R}.$$

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 zu sehen.

Im weiteren Verlauf können Sie ohne Nachweis folgende Aussage verwenden:

Die erste Ableitung von $f$ lautet: $f'(x) = -4e^{-2x} \cdot (1 - 2x)$.

a)

(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten sowie die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

(2)

Die Funktion $f$ hat im Intervall $[0{,}5; 2]$ eine Nullstelle. Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ in dieser Nullstelle nicht die größte Steigung besitzt.

c)

In Abbildung 3 sieht man neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie dabei sämtliche Zahlen der Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0{,}22x - 0{,}186$ ist eine Gleichung von $g$, bei der die Zahlen auf weniger Nachkommastellen gerundet sind.]

(3)

Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Länge nach oben verschoben, erhält man den Graphen einer Funktion $k$, an den $g$ ebenfalls tangential verläuft. In Abbildung 4 werden die Graphen von $f$ und $k$ zusammen mit der gemeinsamen Tangente $g$ gezeigt.

(i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist. Zeichnen Sie diese Tangente in die Abbildung 4 ein.

(ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von Punkt $Q$ und runden Sie auf vier Nachkommastellen.

[Zur Kontrolle: Für die $x$-Koordinate von $Q$ gilt $x_Q \approx 0{,}59$.]

(iii)

Ermitteln Sie, mit welcher Verschiebung der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung für die Funktion $k$ an.

[Hinweis: Den Funktionsterm müssen Sie nicht vereinfachen.]