Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen, legt allein die Königin.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über das Jahr hinweg genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t=232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der ganzen Aufgabe müssen Ergebnisse nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April ($t=50$) ist.

Bienen/Tag

a) (2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten zunimmt bzw. am stärksten abnimmt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch, welche Koordinaten der absolute Hochpunkt des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ besitzt, und interpretieren Sie diese Werte im Sachzusammenhang.

b) (1)

Ermitteln Sie für Ansatz A, in welchem Zeitraum die Bienen Gefahr laufen zu schwärmen (Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag).