Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfacht als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im verwendeten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an.

b)(2)

Berechnen Sie, wie lang die Kante $\overline{JK}$ ist.

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, gestrahlt.

c)(2)

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a$, für den der Laserstrahl mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ einschließt.

Ausgehend vom Punkt $G$ verläuft ein Laserstrahl auf der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ steht.

d)(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung den dazu passenden Wert von $a$.