Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze; er wird vereinfacht als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem, dabei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit entspricht im verwendeten Koordinatensystem einem Meter. Die Leinwand des Kinos ist an der Wandfläche $AEFB$ angebracht.

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht wiedergibt.

(1) Bestimmen Sie für die Ebene $E_{JKL}$ eine Gleichung in Parameterform.

[Mögliche Lösung: $E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r,s \in \mathbb{R}$]

c)

Ausgehend vom Punkt $H$ werden Laserstrahlen mit den Richtungsvektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$, ausgesendet.

(1) Zeigen Sie, dass diese Laserstrahlen zur Ebene $E_{JKL}$ parallel sind.

(3) Für $a = 1$ folgt ein von $H$ ausgehender Laserstrahl der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}, t > 0.$$

Berechnen Sie den Punkt, in dem die Gerade $h$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet, und interpretieren Sie dessen Lage im Sachzusammenhang.

d)

Ein Laserstrahl geht vom Punkt $G$ aus und folgt der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Der Laserstrahl von $H$ mit Richtung $\vec{v}_a$ wird so justiert, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ steht (dazugehöriger Wert $a = 5$).

(2) Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden zueinander senkrechten Laserstrahlen einen Schnittpunkt im Inneren des Kinosaals haben.