Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde die Entwicklung im Jahr 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell außer Betracht. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

Dabei steht $t = 0$ für den Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ geht der 4. März in den 5. März über usw. Der 21. Oktober endet demnach bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen Werte nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie an, wie groß die Zuwachsrate am Ende des 22. April ($t=50$) ist.

(2)

Ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten die Zuwachsrate am stärksten ansteigt bzw. abfällt.

(3)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20s$).

Teilaufgabe b)

Um vorauszusagen, wann die Bienen schwärmen könnten ("Schwarmzeit"), nutzt ein Imker zwei Ansätze: Nach Ansatz A besteht Schwarmgefahr, sobald die Zuwachsrate über 1300 Bienen pro Tag liegt.

(1)

Ermitteln Sie, in welchem Zeitraum nach Ansatz A die Gefahr eines Schwärmens der Bienen besteht.

Teilaufgabe c)

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage ("Sommerbienen"). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t\le 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t=216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben. Die Sterberate (in der Einheit "Bienen pro Tag") der Sommerbienen wird für $35\le t\le 216$ mit der Funktion $g$ mit $$g(t)=\frac{1}{800000}t^4-\frac{1}{30000}t^3-\frac{5}{18}t^2+59{,}25t-1733,\quad t\in \mathbb{R}$$ modelliert.

(1)

Begründen Sie, dass sich für $35\le t\le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit "Bienen pro Tag") durch die Funktion $d$ mit $d(t)=f(t)-g(t)$ beschreiben lässt.

(2)

Geben Sie mithilfe des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise an, wann das Bienenvolk seine maximale Bienenanzahl erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.