Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Kinosaal eines Kinokomplexes fasst über 500 Sitzplätze und wird vereinfacht durch einen Quader $ABCDEFGH$ modelliert. In Abbildung 1 ist dieser Quader in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet, wobei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Im gewählten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Die Kinoleinwand befindet sich auf der Wandfläche $AEFB$.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $F$ an.

b) (2)

Berechnen Sie die Länge der Kante $\overline{JK}$.

c) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Wert von $a$ so, dass der Laserstrahl mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ bildet.

d) (1)

Vom Punkt $G$ aus verläuft ein Laserstrahl entlang der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Der von $H$ in Richtung $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ verlaufende Laserstrahl wird so eingestellt, dass $\vec{v}_a$ senkrecht zur Geraden $g$ verläuft.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert von $a$.