Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Kinosaal eines Kinokomplexes fasst über 500 Sitzplätze und wird vereinfacht durch einen Quader $ABCDEFGH$ modelliert. In Abbildung 1 ist dieser Quader in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet, wobei gilt:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Im gewählten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Die Kinoleinwand befindet sich auf der Wandfläche $AEFB$.

b) (1)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$, die die Position der Kinositze vereinfacht wiedergibt.

Bestimmen Sie für die Ebene $E_{JKL}$ eine Gleichung in Parameterform.

c) (1)

Für eine Lasershow sind im Kinosaal zwei Projektoren installiert, die im Modell den Punkten $G$ und $H$ entsprechen.

Ausgehend von $H$ werden Laserstrahlen gesendet, deren Richtung durch die Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, a \ge 0$ gegeben ist.

Zeigen Sie, dass alle diese Laserstrahlen parallel zur Ebene $E_{JKL}$ liegen.

c) (3)

Für $a = 1$ folgt ein von $H$ ausgehender Laserstrahl der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } t \in \mathbb{R}, t > 0.$$

Berechnen Sie den Punkt, in dem $h$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet, und interpretieren Sie dessen Lage im Sachzusammenhang.

d) (2)

Ein Laserstrahl geht von $G$ aus und verläuft entlang der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}, s > 0.$$

Für $a = 5$ ist der Laserstrahl von $H$ in Richtung $\vec{v}_a$ so eingestellt, dass er senkrecht zu $g$ verläuft.

Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden zueinander senkrechten Laserstrahlen sich innerhalb des Kinosaals schneiden.

Ja

Nein