Aufgabe B5 · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Bei sportlicher Belastung entsteht in den Muskeln Laktat (Milchsäure). Bei einem Laktattest werden Laktatwerte im Blut gemessen und dadurch der Trainingszustand eines Sportlers erfasst. Bei einem Laktatstufentest steigert der Sportler dazu in regelmäßigen Abständen seine Leistung, z. B. auf einem Fahrrad-Ergometer.

Zur Modellierung des Laktatwertes eines bestimmten Sportlers bei einem Laktatstufentest (im Folgenden kurz als Laktatwert bezeichnet) wird für $0 \le x \le 45$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{1}{100}(-0{,}01x^2 + x - 19)\cdot e^{0{,}11x} + 1{,}3, \quad x \in \mathbb{R},$$

verwendet. Dabei ist $x$ die Zeit in Minuten und $f(x)$ der Laktatwert in mmol/l (Millimol pro Liter). Der Laktatstufentest startet zum Zeitpunkt $x = 0$ und dauert 45 Minuten.

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

a) (2 + 4 + 2 Punkte)

(1)

Ermitteln Sie den Laktatwert beim Start und am Ende des Laktatstufentests.

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Laktatwert am niedrigsten ist, und geben Sie diesen Laktatwert an.

(3)

Ermitteln Sie die momentane Zuwachsrate des Laktatwerts 30 Minuten nach dem Start.

Aus den Laktatwerten lässt sich ermitteln, zu welchem Zeitpunkt beim Laktatstufentest ein Sportler die sogenannte individuelle anaerobe Schwelle (kurz IAS) erreicht. Dann liegt die Leistung vor, die der Sportler über einen längeren Zeitraum höchstens erbringen kann. Zur Ermittlung dieses Zeitpunkts gibt es vielfältige Verfahren.

Zwei Verfahren werden im Folgenden näher betrachtet. Dabei bezeichnen $S(0|f(0))$ und $E(45|f(45))$ die zum Start und Ende des Laktatstufentests gehörenden Punkte des Graphen von $f$.

Bei Verfahren A wird zunächst eine Gerade $g$ durch die Punkte $S$ und $E$ gezeichnet. Anschließend wird eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt, die parallel zu $g$ verläuft. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert des Berührpunkts zwischen dem Graphen von $f$ und dieser Tangente (vgl. Abbildung 2).

b) (2 + 3 Punkte)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Geraden $g$.

[Kontrolllösung: $g: y = 0{,}1846x + 1{,}11$.]

(2)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nach Verfahren A die IAS erreicht ist.

Bei Verfahren B wird jeweils in $S$ und in $E$ eine Tangente an den Graphen von $f$ gelegt. Als Zeitpunkt, zu dem die IAS erreicht wird, ergibt sich bei diesem Verfahren der $x$-Wert desjenigen Punktes auf dem Graphen von $f$, welcher den kürzesten Abstand zum Schnittpunkt der beiden Tangenten hat (vgl. Abbildung 3).

c) (4 + 3 Punkte)

Die Gleichung der Tangente $t_S$ im Punkt $S$ kann ohne Nachweis verwendet werden. Es gilt: $t_S: y = -0{,}0109x + 1{,}11$.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $E$ und bestimmen Sie den Schnittpunkt $T$ der beiden Tangenten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

[Gerundete Kontrolllösung mit einer Nachkommastelle: $T(36{,}6|0{,}7)$.]

(2)

Der Sportler schätzt anhand der Abbildung, dass seine IAS nach ungefähr 35 Minuten erreicht ist. Prüfen Sie, ob der dem Zeitpunkt 35,5 Minuten entsprechende Punkt auf dem Graphen von $f$ einen geringeren Abstand zum Punkt $T$ hat als der zu Minute 35 gehörende Punkt auf dem Graphen von $f$.