Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = -4x \cdot e^{-2x} + 0{,}4 \quad \text{mit } x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Art und die Koordinaten der lokalen Extrempunkte am Graphen von $f$.

a) (2)

Die Funktion $f$ hat im Intervall $[0,5; 2]$ die Nullstelle $x_0$.

(i) Zeigen Sie, dass die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Nullstelle nicht ihren größten Wert annimmt.

(ii) Bestimmen Sie eine Stelle $z \neq x_0$, an welcher der Graph von $f$ dieselbe Steigung hat wie an der Stelle $x_0$.

Teilaufgabe c)

In Abbildung 3 sieht man neben dem Graphen der Funktion $f$ auch die Tangente $g$, die den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ berührt.

c) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $g$. Geben Sie alle Zahlen in dieser Gleichung auf vier Nachkommastellen gerundet an.

[Zur Kontrolle: $y = 0,22x - 0,186$ ist eine Gleichung von $g$ mit auf weniger Nachkommastellen gerundeten Zahlen.]

(3) Wird der Graph der Funktion $f$ um eine passende Länge nach oben verschoben, ergibt sich der Graph einer Funktion $k$, den $g$ ebenfalls als Tangente berührt. In Abbildung 4 sind die Graphen von $f$ und $k$ und die gemeinsame Tangente $g$ abgebildet.

c) (3) (i)

An den Graphen von $f$ lässt sich eine Tangente $h$ legen, die parallel zu $g$ ist.

Zeichnen Sie diese Tangente in Abbildung 4 ein.

c) (3) (ii)

Den Berührpunkt von $h$ und dem Graphen von $f$ nennt man $Q$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$, gerundet auf vier Nachkommastellen.

[Zur Kontrolle: Die $x$-Koordinate von $Q$ erfüllt $x_Q \approx 0,59$.]

c) (3) (iii)

Ermitteln Sie, mit welcher Verschiebung aus dem Graphen von $f$ der Graph von $k$ entsteht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an.

[Hinweis: Den Funktionsterm müssen Sie nicht vereinfachen.]