Aufgabe B1 · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ durch die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a\cdot x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}, \; a \neq 0.$$

In Abbildung 1 sind die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$ dargestellt.

a)

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ der jeweilige Graph zuzuordnen ist. [1 Punkt]

Graph I: $a =$

Graph II: $a =$

b)

(1) Ermitteln Sie rechnerisch für den Graphen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ die Koordinaten der lokalen Extrempunkte sowie deren Art. [6 Punkte]

(2) Es existieren zwei Zahlen $s$ und $t$, $s, t \in \mathbb{R}$, deren Differenz $1$ beträgt, sodass der Graph der Funktion $f_{0{,}5}$ in den Punkten $(s \mid f_{0{,}5}(s))$ und $(t \mid f_{0{,}5}(t))$ dieselbe Steigung aufweist.

Bestimmen Sie $s$ und $t$, gerundet auf zwei Nachkommastellen, und geben Sie an, welche Steigung der Graph von $f_{0{,}5}$ an diesen Stellen hat. [3 Punkte]

$s =$

$t =$

c)

(1) Zeigen Sie, dass man den Graphen der Funktion $f_{-a}$ erhält, indem man den Graphen von $f_a$ an der y-Achse spiegelt. [2 Punkte]

(2) Die Funktion $\tilde{f}$ ist gegeben durch $\tilde{f}(x) = 2 \cdot f_1(x) - 1, \; x \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob $\tilde{f}$ ein Mitglied der Schar der Funktionen $f_a$ ist, und geben Sie gegebenenfalls den passenden Wert von $a$ an. [2 Punkte]

Ja

Nein

d)

Für jedes $a \in \mathbb{R}, \; a \neq 0$, ist $W_a\left(-\frac{2}{a} \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $f_a$.

[Hinweis: Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

$d_a$ ist der Abstand des Wendepunktes $W_a$ vom Schnittpunkt des Graphen von $f_a$ mit der y-Achse.

(1) Berechnen Sie sämtliche Werte des Parameters $a$, für die $d_a = 5$ gilt. [4 Punkte]

(2) (i) Untersuchen Sie für $a > 0$, wie sich die Lage des Wendepunktes verändert, wenn $a$ größer wird. [3 Punkte]

(2) (ii) Für $a > 0$ nähert sich der Abstand $d_a$ einem festen Wert, wenn $a$ immer größer wird. Geben Sie diesen Wert an. [1 Punkt]

Der Graph der Funktion $h_a$ ist die Tangente an den Graphen der Funktion $f_a$ im Wendepunkt $W_a$, im Folgenden Wendetangente genannt.

(3) Ermitteln Sie rechnerisch eine von $a$ abhängige Gleichung der Funktion $h_a$. [3 Punkte]

Im Folgenden gilt $a = -2$. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt. Es gilt $h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2-8}{e^2}$ und $g_{-2}(x) = -4x + 1$. Die beiden Tangenten schließen zusammen mit dem Graphen von $f_{-2}$ eine Fläche ein.

(4) Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser eingeschlossenen Fläche. [5 Punkte]

(5) Gegeben ist die Gleichung $\int_{z}^{z+3{,}5} (h_{-2}(x) - f_{-2}(x))\,dx = 0$. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung und erläutern Sie anhand von Abbildung 2, was diese Lösung geometrisch bedeutet. [4 Punkte]

e)

Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, wenn sie in $P$ die gleiche Steigung haben. In Abbildung 3 sind die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ und einer weiteren Funktion $k$ dargestellt. Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \;\middle|\; 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Er entsteht dadurch, dass der Graph von $f_1$ nacheinander in x-Richtung und in y-Richtung verschoben wird.

Ermitteln Sie rechnerisch, mit welchen Verschiebungen der Graph von $f_1$ in den Graphen von $k$ übergeht, und geben Sie eine Gleichung der Funktion $k$ an. [6 Punkte]

[Hinweis: Eine Vereinfachung des Funktionsterms von $k$ ist nicht erforderlich.]