Aufgabe c) - Steckbriefaufgaben · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Zum Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ sind diese Angaben bekannt:

(i) An der Stelle $x = 2$ liegt ein lokales Extremum vor.

(ii) $W(0|4)$ ist ein Wendepunkt des Graphen.

(iii) Die Funktion hat bei $x = 4$ eine Nullstelle.

(1)

Begründen Sie, warum der Grad der gesuchten Funktion mindestens 3 betragen muss. [1 Punkt]

(2)

Man verwendet diesen Ansatz:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,\quad f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \quad \text{und} \quad f''(x) = 6ax + 2b.$$

Den Funktionsterm von $f$ erhält man über dieses Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} d &= 4 \\ 64a + 16b + 4c + d &= 0 \\ 12a + 4b + c &= 0 \\ 2b &= 0 \end{aligned}$$

Begründen Sie die zweite und die dritte Gleichung des Gleichungssystems jeweils anhand der Angaben (i), (ii) bzw. (iii). [2 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie die Lösung des vorliegenden Gleichungssystems. [2 Punkte]

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$