Aufgabe B2 · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen. Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über das Jahr hinweg genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Die Arbeiterinnen heißen vereinfachend „Bienen“.

Am 4. März schlüpften die ersten jungen Bienen.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800\,000} t^4 + \frac{1}{7\,000} t^3 - \frac{3}{11} t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei entspricht $t = 0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag“. Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a)

(1) Geben Sie die Zuwachsrate zum Ende des 22. April ($t = 50$) an. [2 Punkte]

Bienen pro Tag

(2) Ermitteln Sie, wann die Zuwachsrate jeweils am stärksten zunimmt und wann sie am stärksten abnimmt. [3 Punkte]

(3) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des absoluten Hochpunktes des Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. [6 Punkte]

[Hinweis: Bei manchen CAS dauert das Lösen einer Gleichung hier etwas länger ($\approx 20\,\text{s}$).]

(4) Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht nötig.] Ermitteln Sie diese Zahl. [1 Punkt]

Bienen

(5) Bestimmen Sie, wie viele Bienen vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$) im Mittel pro Tag schlüpfen. [2 Punkte]

Bienen pro Tag

b)

Wird ein Bienenvolk zu groß oder hat es zu wenig Platz für sein Nest, so teilt es sich auf und sucht nach neuen Nistplätzen – die Bienen schwärmen. Die meisten Imkerinnen und Imker versuchen dies zu vermeiden.

Ein Imker verwendet zwei verschiedene Ansätze, um vorherzusagen, wann die Gefahr besteht, dass die Bienen schwärmen („Schwarmzeit“):

Bei Ansatz A geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn die Zuwachsrate mehr als 1300 Bienen pro Tag beträgt.

Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

(1) Ermitteln Sie für Ansatz A den Zeitraum, in dem ein Schwärmen der Bienen droht. [4 Punkte]

Von $t_1 \approx$

bis $t_2 \approx$

(2) Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der man Anfang und Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B berechnen kann. Bestimmen Sie anschließend die Schwarmzeit nach Ansatz B. [5 Punkte]

Von $t_3 \approx$

bis $t_4 \approx$

(3) Vergleichen Sie anhand Ihrer Ergebnisse aus (1) und (2) die Schwarmzeiten beider Ansätze. [1 Punkt]

c)

Die Lebenszeit einer Biene nach dem Schlüpfen beträgt im Frühjahr und Sommer wegen ihrer hohen Arbeitsbelastung durch die Brutpflege, die Wachsproduktion und das Sammeln von Nahrung durchschnittlich nur ca. 35 Tage („Sommerbienen“). Diese Lebenserwartung gilt für fast alle Bienen, die vor dem 1. September ($t \leq 181$) schlüpfen. Am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) sind die meisten Sommerbienen demnach gestorben. Die Sterberate (in der Einheit „Bienen pro Tag“) der Sommerbienen wird für $35 \leq t \leq 216$ mit der Funktion $g$ mit

$$g(t) = \frac{1}{800\,000} t^4 - \frac{1}{30\,000} t^3 - \frac{5}{18} t^2 + 59{,}25\,t - 1733, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert.

(1) Begründen Sie, dass sich für $35 \leq t \leq 216$ die Änderungsrate der Bienenanzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag“) durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt. [2 Punkte]

(2) Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise an, zu welchem Zeitpunkt das Bienenvolk die größte Bienenanzahl hat, und begründen Sie Ihre Angabe. [4 Punkte]

(3) Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben. Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind. [4 Punkte]

d)

Bienen, die etwa ab dem 1. September schlüpfen („Winterbienen“), müssen im Herbst und Winter kaum arbeiten und haben deshalb eine sehr viel längere Lebenserwartung. Viele dieser Bienen überleben – gemeinsam mit ihrer Königin – den Winter und versorgen im nächsten Frühjahr die erste Brut, bevor sie sterben. Ab dem Ende des 5. Oktober ($t = 216$) besteht das Volk in diesem Modell aus Winterbienen und einigen spät geschlüpften Sommerbienen mit erhöhter Lebenserwartung.

Eine Funktion $h$ soll die Sterberate der Bienen ab dem 6. Oktober modellieren. Für $t \geq 216$ soll $h$ nur positive Funktionswerte annehmen. Ihr Graph soll streng monoton fallen und sich auf lange Sicht dem Graphen der konstanten Funktion $l$ mit $l(t) = 20$ annähern.

(1) Bei passender Wahl der Parameter $a$ und $b$ eignet sich der Ansatz

$$h(t) = a \cdot \mathrm{e}^{b\cdot t} + 20, \quad t \geq 216$$ für eine Funktion $h$, die die genannten Anforderungen erfüllt. Geben Sie an, welche Vorzeichen $a$ und $b$ haben müssen, und begründen Sie, dass $h$ mit dieser Vorzeichenwahl alle genannten Anforderungen erfüllt. [3 Punkte]

Vorzeichen von $a$:

Vorzeichen von $b$:

(2) Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass der Graph von $h$ bei $t = 216$ ohne Knick an den Graphen von $g$ anschließt. [3 Punkte]

$a \approx$

$b \approx$