Aufgabe B3 · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Aufgabenstellung:

Der größte Saal eines Kinokomplexes bietet mehr als 500 Sitzplätze und wird vereinfacht als Quader $ABCDEFGH$ modelliert. Abbildung 1 zeigt diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem mit folgenden Punkten:

$A(0|0|0)$, $B(20|0|0)$, $D(0|23|0)$, $E(0|0|9)$, $G(20|23|9)$, $H(0|23|9)$, $J(20|5|0)$, $K(20|23|6)$, $L(0|23|6)$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht für einen Meter. Die Leinwand des Kinos liegt auf der Wandfläche $AEFB$.

a)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $F$ an.

b)

Die Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ liegen in einer gemeinsamen Ebene $E_{JKL}$. Sie beschreibt vereinfacht, wo sich die Sitze im Kino befinden.

(1) Begründen Sie, weshalb $$E_{JKL}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ mit } r, s \in \mathbb{R}$$ eine Parameterform der Ebene $E_{JKL}$ ist.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch eine Ebenengleichung der Ebene $E_{JKL}$ in Koordinatenform. [Mögliche Lösung: $E_{JKL}: 2x_2 - 6x_3 = 10$]

(3) Berechnen Sie die Länge der Kante $\overline{JK}$.

Im Kinosaal befinden sich zwei Projektoren für eine Lasershow, welche im Modell durch die beiden Punkte $G$ und $H$ dargestellt werden.

c)

Vom Punkt $H$ aus werden Laserstrahlen in Richtung von Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ 3b \\ b \end{pmatrix}$, mit $a, b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$, $b \le 0$, gestrahlt.

(1) Zeigen Sie, dass die Laserstrahlen mit dieser Bedingung in der Ebene $E_{\text{Laser}}: x_2 - 3x_3 = -4$ verlaufen.

(2) Begründen Sie, dass die Ebenen $E_{JKL}$ und $E_{\text{Laser}}$ parallel zueinander liegen und nicht identisch sind.

(3) Bestimmen Sie rechnerisch den Abstand der Ebene $E_{JKL}$ zur Ebene $E_{\text{Laser}}$.

(4) Laserstrahlen werden in Richtung der Vektoren $\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a \ge 0$, ausgestrahlt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie $a$ gewählt werden muss, damit ein Laserstrahl entsteht, welcher mit der Kante $\overline{HG}$ einen Winkel von $60^\circ$ bildet.

d)

Vom Punkt $G$ aus werden Laserstrahlen entlang der Geraden $$g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 23 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} k - 15 \\ -23 \\ \sqrt{4 - k^2} - 4 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R},\, k \in \mathbb{R} \text{ mit } -2 \le k \le 2$$ ausgestrahlt.

Diese Laserstrahlen treffen auf die Wandfläche $AEFB$, mit $E_{AEFB}: x_2 = 0$. [Nachweis nicht erforderlich]

(1) Bestimmen Sie die von $k$ abhängigen Koordinaten der Punkte $S_k$, in welchen die Laserstrahlen auf die Wandfläche $AEFB$ treffen.

Zeigen Sie, dass der Abstand der Punkte $S_k$ zum Punkt $M(5|0|5)$ unabhängig von $k$ ist.

(2) Die Punkte $S_k$, in denen die Laserstrahlen auf die Leinwand treffen, bilden für $-2 \le k \le 2$ eine geometrische Figur. Begründen Sie, dass es sich um einen nach unten geöffneten Halbkreis handelt.