Exame Nacional Matemática A 2022 · Época especial

1. Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma hexagonal reto $[ABCDEFGHIJKL]$, cujas bases são hexágonos regulares.

Sabe-se que:

os vértices $A$ e $B$ pertencem ao semieixo positivo $Ox$, e o vértice $F$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

o plano $BCJ$ é definido pela equação $3x - \sqrt{3}y - 6 = 0$;

o centro do prisma, ponto equidistante de todos os seus vértices, é o ponto $M\left(\frac{4}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2\right)$.

1.1.

Qual das seguintes equações define o plano que contém a face $[GHIJKL]$?

1.2.

Determine, sem recorrer à calculadora, uma equação cartesiana do plano $LEF$.

Apresente a equação na forma $ax + by + cz + d = 0$, em que $a$, $b$, $c$ e $d$ são números reais.

2. Na Figura 2, está representado um triângulo, $[ABC]$, inscrito numa semicircunferência de diâmetro $\overline{AC} = 4$.

Seja $\alpha$ a amplitude do ângulo $CAB$.

Mostre que a área da região sombreada na figura é dada, em função de $\alpha$, por

$$2\pi - 4\operatorname{sen}(2\alpha)$$

3. Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos de $0$ a $5$.

Destes números, quantos têm o algarismo das unidades igual a $5$?

4. Uma empresa tem $60$ funcionários. Todos trabalham cinco dias por semana, mas fazem-no em regimes diferentes, como a seguir se descreve:

$40\%$ trabalham todos os dias em regime presencial;

$25\%$ trabalham todos os dias à distância;

os restantes trabalham dois dias em regime presencial e três dias à distância.

Selecionam-se, ao acaso, quatro funcionários dessa empresa.

A expressão seguinte permite determinar a probabilidade de serem selecionados, no máximo, três funcionários que trabalham em regime presencial, pelo menos, dois dias por semana.

$$\frac{^{60}C_4 - {}^{45}C_4}{^{60}C_4}$$ Explique esta expressão no contexto descrito.

Na sua resposta:

enuncie a regra de Laplace;

explique o número de casos possíveis;

explique o número de casos favoráveis.

5. Seja $\Omega$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos independentes ($A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$), com $P(A) \neq 0$.

Mostre que $$P(B) + P(A) \times (1 - P(B|A)) = P(A) + P(B) \times P(\overline{A})$$

6. Seja $k$ um número natural.

Qual é o limite da sucessão $(u_n)$ definida por $u_n = \left(\frac{n + k}{n}\right)^n$?

()

De uma progressão aritmética, $(v_n)$, sabe-se que $v_3 = 1$ e $v_{10} = \frac{5}{4} v_9$.

Averigue, sem recorrer à calculadora, se $-50$ é termo da progressão $(v_n)$.

8. Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere o número complexo $z = e\,e^{ie}$.

Seja $P$ o afixo de $z$ no plano complexo.

Em qual das opções seguintes pode estar representado, no plano complexo, o ponto $P$?

9. Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere os números complexos $z_1$ e $z_2$, dados por:

$z_1 = (1 + i)^2 \times (2 + i) + i^7$;

$z_2 = \text{sen }\theta + i\cos\theta$, com $\theta \in [0, 2\pi[$.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $\theta$ tal que $z_1 \times z_2 = 3 + 2i$.

10. Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{e^{5x} - 1} & \text{se } x \neq 0 \\[10pt] \dfrac{3}{5} & \text{se } x = 0 \end{cases}$$ Averigue, sem recorrer à calculadora, se a função $f$ é contínua em $x = 0$.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x) = \ln(1 + e^x) - x$.

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.1. O gráfico de $g$ tem uma assíntota oblíqua, quando $x$ tende para $-\infty$, e tem uma assíntota horizontal, quando $x$ tende para $+\infty$.

Determine uma equação de cada uma dessas assíntotas.

a)

b)

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x) = \ln(1 + e^x) - x$.

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.2. Num referencial o.n. $Oxy$, seja $r$ a reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $0$.

Sejam $A$ e $B$ os pontos de intersecção da reta $r$ com os eixos coordenados.

Mostre que a área do triângulo $[OAB]$ é igual a $(\ln 2)^2$.

Na Figura 3, estão representadas, em referencial o.n. $Oxy$, parte do gráfico de uma função, $h$, e uma reta, $s$.

Sabe-se que:

a função $h$, de domínio $\mathbb{R}$, é definida por $h(x) = x^2$;

a reta $s$ tem declive positivo, $m$, e intersecta o gráfico da função $h$ nos pontos $A$ e $B$;

o ponto $A$ tem coordenadas $(-1, 1)$.

12.1. Qual das expressões seguintes representa a ordenada na origem da reta $s$?

()

Na Figura 3, estão representadas, em referencial o.n. $Oxy$, parte do gráfico de uma função, $h$, e uma reta, $s$.

Sabe-se que:

a função $h$, de domínio $\mathbb{R}$, é definida por $h(x) = x^2$;

a reta $s$ tem declive positivo, $m$, e intersecta o gráfico da função $h$ nos pontos $A$ e $B$;

o ponto $A$ tem coordenadas $(-1, 1)$.

12.2. Sabe-se que as coordenadas do ponto $B$ são da forma $(m + 1, (m + 1)^2)$.

Considere o ponto $C$, projeção ortogonal do ponto $B$ sobre o eixo $Oy$.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de $m$ para o qual a área do triângulo $[ABC]$ é igual a $4$, sabendo-se que existe e é único.

Apresente o valor de $m$ arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita obter o valor de $m$;

reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às milésimas.

a)

b)

c)

Seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}^+$, cuja derivada, de domínio $\mathbb{R}^+$, é definida por $g'(x) = \frac{x - e^{3x}}{x}$.

Estude, sem recorrer à calculadora, a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo;

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para cima;

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $g$.

Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são solução da equação

$$\frac{1}{2} \log_2(9x + 1) = \log_2(6x)$$

Seja $k$ um número real positivo.

Considere a função $f$, de domínio $]0, +\infty[$, definida por $f(x) = \sqrt{kx} - \ln(kx)$.

Determine, sem recorrer à calculadora, o contradomínio da função $f$.