Exercício 4 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2022

Tema: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Do exame 1.ª fase (2022)

Enunciado

4. O Semáforo é um jogo matemático em que se usa um tabuleiro retangular de 3×43 \times 4 casas e se dispõe de peças verdes, peças amarelas e peças encarnadas. As peças da mesma cor são iguais.

Na Figura 1, está representado um tabuleiro do jogo Semáforo cujas casas foram numeradas de 1 a 12.

Pretende-se colocar 2 peças no tabuleiro, uma peça por casa, de modo a obter uma configuração colorida. Para o efeito, dispõe-se de várias peças de cada cor.

Considera-se uma configuração colorida o resultado da colocação de duas peças no tabuleiro. Duas configurações coloridas são diferentes se diferirem nas casas ocupadas pelas peças usadas ou na cor dessas peças.

A expressão seguinte permite determinar o número de configurações coloridas diferentes que é possível obter.

3×12C2+3C2×12A23 \times {}^{12}C_2 + {}^3C_2 \times {}^{12}A_2

Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.

Enunciado: Exercício 4 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2022

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.

Resposta: Tópicos de resposta: - Explicação da parcela 3×12C23 \times {}^{12}C_2: é o número de maneiras de escolher uma das três cores e, para cada cor escolhida, colocar duas peças dessa cor em duas casas do tabuleiro. - Explicação da parcela 3C2×12A2{}^3C_2 \times {}^{12}A_2: é o número de maneiras de escolher duas das três cores e, para cada par de cores escolhidas, colocar duas peças, uma de cada cor desse par, em duas casas do tabuleiro.

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