Exame Nacional Matemática A 2022 · 1.ª fase

1. Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão convergente?

2. A soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica de razão $\frac{2}{3}$ é $211$.

Determine o quinto termo desta progressão.

3. Seja $\Omega$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma dada experiência aleatória.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$).

Sabe-se que:

$P(\overline{B}) = 0{,}6$;

$P(A \cup B) = 0{,}6$;

$A \cap B = \emptyset$.

Qual é o valor de $P(\overline{A})$?

4. O Semáforo é um jogo matemático em que se usa um tabuleiro retangular de $3 \times 4$ casas e se dispõe de peças verdes, peças amarelas e peças encarnadas. As peças da mesma cor são iguais.

Na Figura 1, está representado um tabuleiro do jogo Semáforo cujas casas foram numeradas de 1 a 12.

Pretende-se colocar 2 peças no tabuleiro, uma peça por casa, de modo a obter uma configuração colorida. Para o efeito, dispõe-se de várias peças de cada cor.

Considera-se uma configuração colorida o resultado da colocação de duas peças no tabuleiro. Duas configurações coloridas são diferentes se diferirem nas casas ocupadas pelas peças usadas ou na cor dessas peças.

A expressão seguinte permite determinar o número de configurações coloridas diferentes que é possível obter.

$$3 \times {}^{12}C_2 + {}^3C_2 \times {}^{12}A_2$$

Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.

5. Dos alunos que participaram num torneio de jogos matemáticos, que incluiu os jogos Semáforo e Rastros, sabe-se que:

metade dos alunos jogou Semáforo;

um quarto dos alunos não jogou Rastros;

um quinto dos alunos que não jogaram Rastros jogou Semáforo.

Determine a probabilidade de um aluno que participou no torneio, escolhido ao acaso, não ter jogado Semáforo e ter jogado Rastros.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

6. Na Figura 2, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, um cone reto de vértice $V$ e base de centro no ponto $A$.

Sabe-se que:

o ponto $V$ pertence ao eixo $Oz$, e o ponto $A$ pertence ao eixo $Oy$;

a base do cone tem raio $3$ e está contida no plano definido por $4y - 3z = 16$.

6.1.

Qual das seguintes equações define um plano perpendicular ao plano que contém a base do cone e que passa no ponto de coordenadas $(1, 2, -1)$?

()

6.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine o volume do cone.

7. Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência de equação $$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9$$

O ponto $C$ é o centro da circunferência.

$A$ e $B$ são dois pontos da circunferência.

O arco de circunferência $AB$ tem comprimento $2\pi$.

Determine o valor do produto escalar $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2-x}}{x+2} & \text{se } x < -2 \lor x \ge 2 \\[1em] \dfrac{\operatorname{sen}(x-2)}{x^2-4} & \text{se } -2 < x < 2 \end{cases}$$ Resolva os itens 8.1. e 8.2. sem recorrer à calculadora.

8.1. Averigue se a função $f$ é contínua em $x = 2$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora. Apresente todos os cálculos e justifique a conclusão.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2-x}}{x+2} & \text{se } x < -2 \lor x \ge 2 \\[1em] \dfrac{\operatorname{sen}(x-2)}{x^2-4} & \text{se } -2 < x < 2 \end{cases}$$ Resolva os itens 8.1. e 8.2. sem recorrer à calculadora.

8.2. Estude a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, no intervalo $]-\infty, -2[$, e determine esses extremos, caso existam.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Na Figura 4, está representado um cabo suspenso pelas suas extremidades em dois postes iguais, distanciados $10$ metros entre si. Os postes estão instalados perpendicularmente ao solo, num terreno plano e horizontal. O ponto do cabo mais próximo do solo é equidistante dos dois postes.

Seja $h$ a função, de domínio $[0, 10]$, definida por $h(x) = 6,3\left(e^{\frac{x-5}{12,6}} + e^{\frac{5-x}{12,6}}\right) - 7,6$.

Admita que $h(x)$ é a altura, relativamente ao solo, em metros, de um ponto do cabo situado a $x$ metros do poste da esquerda.

9.1.

Qual é a distância, arredondada às décimas de metro, da base do poste da esquerda ao ponto do cabo que está mais próximo do solo?

()

9.2.

Para um ponto do cabo situado a $d$ metros do poste da esquerda, verifica-se que, diminuindo $50\%$ essa distância, a altura, relativamente ao solo, diminui $30$ centímetros.

Determine, recorrendo à calculadora, o valor de $d$, sabendo-se que este valor existe e é único.

Apresente o resultado arredondado às décimas de metro.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

— apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

— reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às centésimas.

m

10. Na Figura 5, estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos.

O ponto $A$ pertence ao semieixo real positivo, os pontos $B$ e $C$ pertencem ao semieixo real negativo, e o ponto $D$ pertence ao semieixo imaginário negativo.

O ponto $W$ é o afixo de um número complexo $w$ tal que $\text{Im}(w) = -\text{Re}(w)$ e $\text{Re}(w) > 1$.

Qual dos pontos seguintes pode ser o afixo do número complexo $-i w^2$ ?

()

11. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, a equação $$z^3 = \left(\frac{-\sqrt{3} + i}{\sqrt{2}\,i}\right)^6$$

Determine o número complexo que é solução da equação e cujo afixo, no plano complexo, pertence ao terceiro quadrante.

Apresente o resultado na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$.

12. Na Figura 6, está representado o triângulo $[ABC]$.

Seja $x \in \left]0, \frac{\pi}{4}\right[$ a amplitude, em radianos, do ângulo $BAC$.

Sabe-se que:

$C\hat{B}A = 2x$;

$\overline{BC} = 2\text{ cm}$.

Mostre que o comprimento de $[AB]$, em centímetros, é dado, para cada valor de $x$, pela expressão $$8\cos^2 x - 2$$

13. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $g$ a função, de domínio $]1, +\infty[$, definida por $g(x) = 5x - 3\ln(x - 1)$.

Estude a função $g$ quanto à existência de assíntotas verticais e de assíntotas oblíquas ao seu gráfico e, caso existam, escreva as respetivas equações.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine os números reais que são solução da equação

$$(e^x - 1)\ln(5 - 2x) + e^x\ln(3 - x) = \ln(3 - x)$$

Seja $k$ um número real não nulo, e seja $f$ a função definida, em $\mathbb{R}^+$, por $f(x) = \dfrac{k}{x}$.

Considere dois pontos do gráfico de $f$, $A$ e $B$, sendo $A$ o de menor abcissa. Considere, também, o ponto desse gráfico em que a reta tangente ao gráfico é paralela à reta $AB$.

Mostre que, para qualquer valor de $k$, as abcissas dos três pontos são termos consecutivos de uma progressão geométrica.