Exercício 9 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2022

9. Seja $g$ uma função derivável, de domínio $]-\infty, \pi[ \setminus \{0\}$, cuja derivada, $g'$, é dada por

$$g'(x) = \begin{cases} 3e^{2x} - 7e^x & \text{se } x < 0 \\[6pt] x + 2\cos^2 x & \text{se } 0 < x < \pi \end{cases}$$

Resolva os itens 9.1. e 9.2. sem recorrer à calculadora.

9.1.

Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo $]0, \pi[$.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo;

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para cima;

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $g$.

9.2.

Considere, em referencial o.n. $Oxy$, o gráfico da função $g$.

Determine, no intervalo $]-\infty, 0[$, a abcissa do ponto do gráfico da função $g$ em que a reta tangente ao gráfico da função é paralela à reta de equação $y = -2x$.