Exame Nacional Matemática A 2022 · 2.ª fase

Em qual das opções seguintes está representada graficamente, em referencial o.n. $Oxy$, uma função que tem um mínimo em $x = 0$ ?

A

B

C

D

A soma de todos os elementos de uma dada linha do triângulo de Pascal é igual a $16\,384$.

Qual é o valor do quarto elemento da linha seguinte?

A

$286$

B

$455$

C

$715$

D

$1365$

Dos passageiros de um voo de avião do Porto para Faro sabe-se que, antes do embarque:

70% nunca tinham viajado de avião;

$\dfrac{2}{5}$ já tinham estado em Faro;

metade dos que já tinham estado em Faro já tinha viajado de avião.

Admita que a ordem de saída dos passageiros deste voo é aleatória.

O primeiro passageiro a sair do avião nunca tinha estado em Faro.

Qual é a probabilidade de esta ter sido a primeira viagem de avião desse passageiro?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

4. Um saco contém $12$ cartões com a forma de retângulos geometricamente iguais: $3$ azuis, $2$ brancos, $3$ pretos e $4$ vermelhos.

Os $12$ cartões vão ser retirados, sucessivamente e ao acaso, do saco e dispostos sobre uma mesa, alinhados pela ordem em que são retirados.

Determine a probabilidade de os cartões azuis ficarem todos juntos.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

5. Na Figura 1, está representado o cubo $[ABCDEFGH]$.

Fixado um determinado referencial o.n. $Oxyz$, tem-se:

$A(-2, 5, 0)$, $B(1, -1, 2)$ e $C(3, 2, 8)$.

5.1.

Qual é o valor de $\vec{AB} \cdot \vec{HE}$?

()

5.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Sabe-se que o vértice $E$ do cubo pertence à reta definida pela equação

$(x, y, z) = (0, 0, 3) + k(1, -1, -1),\ k \in \mathbb{R}$

Determine as coordenadas do vértice $E$.

(,,)

6. Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, a condição $z \times \bar{z} = 4$.

Em qual das opções seguintes está representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por esta condição?

()

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número complexo $z = \frac{4}{1 - i} + 4i^{18}$.

O número complexo $z$ é uma das raízes cúbicas de um número complexo $w$.

Determine as restantes raízes cúbicas de $w$ e apresente-as na forma trigonométrica.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - \cos x}{x} & \text{se } x < 0 \\[2ex] \ln\sqrt{e + x} & \text{se } x \ge 0 \end{cases}$$

Averigue se a função $f$ é contínua em $x = 0$.

9. Seja $g$ uma função derivável, de domínio $]-\infty, \pi[ \setminus \{0\}$, cuja derivada, $g'$, é dada por

$$g'(x) = \begin{cases} 3e^{2x} - 7e^x & \text{se } x < 0 \\[6pt] x + 2\cos^2 x & \text{se } 0 < x < \pi \end{cases}$$

Resolva os itens 9.1. e 9.2. sem recorrer à calculadora.

9.1.

Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo $]0, \pi[$.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo;

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para cima;

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $g$.

9.2.

Considere, em referencial o.n. $Oxy$, o gráfico da função $g$.

Determine, no intervalo $]-\infty, 0[$, a abcissa do ponto do gráfico da função $g$ em que a reta tangente ao gráfico da função é paralela à reta de equação $y = -2x$.

10. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $h$ a função, de domínio $]0, +\infty[$, definida por $$h(x) = \frac{e^x + \ln x}{e^x - 1}$$

Estude a função $h$ quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso estas existam, escreva as respetivas equações.

a)

b)

11. Um tanque, que inicialmente tinha um certo volume de água salgada, dispõe de duas torneiras, uma de enchimento e outra de vazamento. As duas torneiras são abertas, em simultâneo, sendo vertida água do mar para o tanque até este estar cheio.

Admita que a massa de sal, $m$, em quilogramas, no tanque, $t$ minutos após a abertura das torneiras, até o tanque estar cheio, é dada por $$m(t) = \frac{30(1 + 0{,}006t)^3 - 29}{(1 + 0{,}006t)^2}, \quad \text{com } t \in [0, 250]$$

11.1.

Qual é, com aproximação às unidades, a percentagem de aumento da massa de sal no tanque, no primeiro minuto após a abertura das torneiras?

11.2.

Existe um instante a partir do qual, passada meia hora, a massa de sal no tanque triplica. Determine, recorrendo à calculadora, esse instante, sabendo-se que existe e é único.

Apresente o resultado em minutos e segundos (com os segundos arredondados às unidades).

Instante no formato minutos e segundos:

12. Seja $(u_n)$ a sucessão definida por

$$u_n = \begin{cases} (-1)^n & \text{se } n \le 3 \\[6pt] \dfrac{4n-1}{n+3} & \text{se } n > 3 \end{cases}$$

Mostre que a sucessão $(u_n)$ é limitada.

13. Seja $a$ um número real.

Considere a função polinomial definida, em $\mathbb{R}$, por $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + a^2x + \sqrt{2}$.

Mostre que, para qualquer valor de $a$, a função não tem extremos.

14. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Na Figura 2, estão representadas, em referencial o.n. $xOy$, as retas $r$ e $s$.

A reta $r$ é definida pela equação $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1$.

A reta $s$ passa pela origem do referencial e tem inclinação $\alpha$.

O ponto $A$ é o ponto de intersecção da reta $r$ com o eixo $Ox$.

O ponto $B$ é o ponto de intersecção das duas retas.

Sabe-se que $\cos\alpha = \frac{1}{2}$.

Determine a área do triângulo $[AOB]$.

15. Considere, num referencial o.n. $xOy$, o gráfico da função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^2$, e uma reta $r$, não vertical, que passa no ponto de coordenadas $(0, 1)$.

Sejam $A$ e $B$ os pontos de intersecção da reta $r$ com o gráfico da função $f$.

Mostre que o ângulo convexo $AOB$ é um ângulo reto.