Exercício 9 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2022

Na Figura 4, está representado um cabo suspenso pelas suas extremidades em dois postes iguais, distanciados $10$ metros entre si. Os postes estão instalados perpendicularmente ao solo, num terreno plano e horizontal. O ponto do cabo mais próximo do solo é equidistante dos dois postes.

Seja $h$ a função, de domínio $[0, 10]$, definida por $h(x) = 6,3\left(e^{\frac{x-5}{12,6}} + e^{\frac{5-x}{12,6}}\right) - 7,6$.

Admita que $h(x)$ é a altura, relativamente ao solo, em metros, de um ponto do cabo situado a $x$ metros do poste da esquerda.

9.1.

Qual é a distância, arredondada às décimas de metro, da base do poste da esquerda ao ponto do cabo que está mais próximo do solo?

()

9.2.

Para um ponto do cabo situado a $d$ metros do poste da esquerda, verifica-se que, diminuindo $50\%$ essa distância, a altura, relativamente ao solo, diminui $30$ centímetros.

Determine, recorrendo à calculadora, o valor de $d$, sabendo-se que este valor existe e é único.

Apresente o resultado arredondado às décimas de metro.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

— apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

— reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às centésimas.

m