Exercício 15 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2022

Seja $k$ um número real não nulo, e seja $f$ a função definida, em $\mathbb{R}^+$, por $f(x) = \dfrac{k}{x}$.

Considere dois pontos do gráfico de $f$, $A$ e $B$, sendo $A$ o de menor abcissa. Considere, também, o ponto desse gráfico em que a reta tangente ao gráfico é paralela à reta $AB$.

Mostre que, para qualquer valor de $k$, as abcissas dos três pontos são termos consecutivos de uma progressão geométrica.