Sujets du Bac Mathématiques 2024
Sujets du Bac de Mathématiques 2024 : Métropole 1, Métropole 1 remplacement et Métropole 2. Avec le corrigé de chaque exercice et correction automatique.
Métropole France 1 (2024)
Thèmes du sujet : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Suites : récurrence, convergence et limites · Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Primitives et équations différentielles · Calcul intégral · Probabilités conditionnelles et indépendance · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
- Exercice 1 - Affirmation 1 · Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Affirmation 1 : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe Cf. - Exercice 1 - Affirmation 2 · Primitives et équations différentielles
Affirmation 2 : La fonction f est solution sur R de l'équation différentielle (E) : y' + y = 5e^(-x). - Exercice 1 - Affirmations 3 et 4 · Suites : récurrence, convergence et limites
On considère un encadrement un <= vn <= wn avec un -> -1 et wn -> 1. Affirmation 3 : La suite (vn) converge vers un nombre réel l dans [-1 ; 1]. On suppose de plus que (un) est croissante et (wn)… - Exercice 2 - Questions 1 à 4 · Probabilités conditionnelles et indépendance
Questions 1 à 4 de l'Exercice 2 : compléter l'arbre pondéré avec les probabilités associées aux branches, calculer P(I ∩ S), démontrer que P(S) = 0,8 à l'aide de la formule des probabilités totales,… - Exercice 2 - Questions 5 et 6 · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale
Questions 5 et 6 de l'Exercice 2 : justifier que la variable X suit une loi binomiale B(30; 0,8), calculer P(X ≥ 25) arrondi à 10⁻³, puis déterminer par résolution d'inéquation la taille minimale n… - Exercice 2 - Question 7.a · Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon
Déterminer l'espérance E(T) et la variance V(T) de la variable aléatoire T = T1 + T2, avec T1 et T2 indépendantes, E(T1)=4, V(T1)=2, E(T2)=3, V(T2)=1. - Exercice 2 - Question 7.b · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
Justifier que la probabilité que le client reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à 2/3 à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. - Exercice 3 · Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage
Exercice de géométrie dans l'espace avec repère orthonormé : équation cartésienne de plan, vecteur normal, coordonnées d'un point d'intersection, projeté orthogonal, nature et aire d'un triangle,… - Exercice 4 - Parties A et B · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité
Partie A : étude de la fonction f(x) = x - 2 + (1/2)ln(x) (limites en 0 et +infini, dérivée, sens de variation, convexité, unicité de la solution de f(x)=0 avec alpha dans [1;2], signe de f,… - Exercice 4 - Partie C · Calcul intégral
Partie C : un calcul d'aire. On étudie la position relative des courbes C_g et P sur ]0 ; 1]. On démontre par intégration par parties que ∫_{1/α}^1 x² ln(x) dx = (-α³ - 6α + 13) / (9α³). On en déduit…
Métropole France 1 remplacement (2024)
Thèmes du sujet : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Suites : récurrence, convergence et limites · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Calcul intégral · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
- Exercice 1 · Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage
Géométrie dans l'espace appliquée à un cube : repère orthonormé, coordonnées, équation cartésienne de plan, droite orthogonale, intersection de droites, projeté orthogonal, calcul de distance, aire… - Exercice 2 - Partie A · Calcul intégral
Partie A : Calcul du volume d'un bonbon au chocolat. Justifier le signe de f(x) sur [-1; 1], montrer l'égalité d'intégrales par intégration par parties et calculer le volume V = 3 * S. - Exercice 2 - Partie B · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité
Partie B : Étude de la fonction de bénéfice B(q) = 8q^2(2 - 3ln q) - 3 sur [0,01 ; +∞[ : limite en +∞, calcul de la dérivée B'(q), variations, bénéfice maximal à l'euro près, application du TVI pour… - Exercice 3 · Suites : récurrence, convergence et limites
Pour chacune des 5 affirmations sur les suites numériques, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier : 1) suite arithmético-géométrique et suite géométrique associée w_n = t_n - 10 ; 2)… - Exercice 4 - Partie A · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale
Partie A : Modélisation du nombre de cachets non conformes dans une boîte de 100 par une loi binomiale B(100; 0,02). Calcul de l'espérance, de P(N = 3), de P(au moins 95 conformes), et détermination… - Exercice 4 - Partie B · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
Partie B : Étude de la masse totale S de 100 cachets indépendants (espérance μ = 2 g, écart-type σ). Calcul de E(S) = 200 g, démonstration de s = 10σ, équivalence P(199 < S < 201) ≥ 0,9 <=> P(|S -…
Métropole France 2 (2024)
Thèmes du sujet : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Suites : récurrence, convergence et limites · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Primitives et équations différentielles · Probabilités conditionnelles et indépendance · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
- Exercice 1 - Probabilités conditionnelles · Probabilités conditionnelles et indépendance
Exercice 1 (Questions 1 à 3) : Déterminer P(Q) et P_Rbar(Qbar), compléter l'arbre pondéré avec les probabilités conditionnelles, démontrer à l'aide de la formule des probabilités totales que x = 0,9,… - Exercice 1 - Loi binomiale · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale
Question 4 : Déterminer la note entière minimale n telle que P(N >= n) >= 0,65 pour N suivant la loi binomiale B(20 ; 0,615). - Exercice 1 - Sommes de variables aléatoires · Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon
Questions 5, 6.a et 6.b : Calculer l'espérance et la variance de S = N_1 + ... + N_10, interpréter M = S/10, et justifier les valeurs de E(M) et V(M). - Exercice 1 - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
Question 6.c : Justifier à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que P(10,3 < M < 14,3) >= 0,8. - Exercice 2 - Partie A : Modèle discret · Suites : récurrence, convergence et limites
Partie A : étude d'un modèle discret pour l'évolution du taux de chlore dans une piscine avec récurrence, convergence, limite et algorithme Python. - Exercice 2 - Partie B : Modèle continu · Primitives et équations différentielles
Partie B : étude d'un modèle continu régi par l'équation différentielle y' = -0,08y + q/50. Résolution générale, limite en +infini et détermination des paramètres C et q. - Exercice 3 · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité
Étude complète d'une fonction avec logarithme : lectures graphiques (valeurs, tangente, convexité, conjecture de racines), étude analytique de f (limite, dérivée, variations, TVI, signe, point… - Exercice 4 · Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage
Vrai ou Faux avec justification sur la géométrie dans l'espace : points A(2;0;0), B(0;4;3), C(4;4;1), D(0;0;4) et H(-1;1;2). Affirmation 1 : A, C et D définissent un plan d'équation 8x - 5y + 4z - 16…
Métropole France 2 Bis (2024)
Thèmes du sujet : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Suites : récurrence, convergence et limites · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Primitives et équations différentielles · Calcul intégral · Probabilités conditionnelles et indépendance · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
- Exercice 1.A.1 - Probabilités conditionnelles · Probabilités conditionnelles et indépendance
1.a Compléter l'arbre pondéré avec les probabilités P(R), P(R̄), P_R(F) et P_R(F̄). 1.b Calculer P(R ∩ F). 1.c Déterminer P_R̄(F). 1.d L'affirmation selon laquelle plus de 80 % des clients ayant… - Exercice 1.A.2 - Loi binomiale · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale
2.a Identifier la loi de probabilité suivie par X et justifier. 2.b Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de 20 (arrondie à 10⁻³ près). - Exercice 1.B.1-2 - Sommes de variables aléatoires · Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon
Questions B.1 et B.2 : calcul de l'espérance E(X2) et son interprétation, description de ce que modélise Z = Y/1000, puis vérification de son espérance E(Z) = 53,5 et de sa variance V(Z) = 0,72275. - Exercice 1.B.3 - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres
Question B.3 : à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que Z soit strictement compris entre 51,7 euros et 55,3 euros est supérieure à 0,75. - Exercice 2 · Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on donne les points A(0; 4; -1), B(6; 1; 5) et C(6; -2; -1). Indiquer pour chacune des 4 affirmations si elle est vraie ou fausse en justifiant la… - Exercice 3 · Suites : récurrence, convergence et limites
Étude d'une suite récurrente u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2 avec u_0 = a > 1. Partie A : cas 1 < a < 2 (relations algébriques, récurrence u_n < 2, convergence et limite). Partie B : cas a = 2 (programme… - Exercice 4 - Dérivation et convexité · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité
Étude graphique et algébrique d'une fonction f : lectures de f(0), f'(0) et résolution de f(x)=0, convexité, recherche des constantes a, b et lambda de la forme f(x)=(ax+b)e^(lambda x), puis limite… - Exercice 4.A.4 - Primitives · Primitives et équations différentielles
Parmi les trois courbes proposées (Courbe 1, Courbe 2, Courbe 3), déterminer laquelle peut représenter une primitive de la fonction f sur R et justifier la réponse. - Exercice 4.C.4 - Calcul intégral · Calcul intégral
Calcul intégral à l'aide d'une intégration par parties pour I(t) = intégrale de -2 à t de (x+2)e^(-x) dx, puis déduction d'un exemple de surface non bornée d'aire finie en faisant tendre t vers…
Métropole France 2 remplacement (2024)
Thèmes du sujet : Combinatoire et dénombrement · Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Suites : récurrence, convergence et limites · Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Fonctions exponentielle et logarithme népérien · Primitives et équations différentielles · Calcul intégral · Probabilités conditionnelles et indépendance · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Exercice 1 · Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage
Dans un cube ABCDEFGH muni du repère orthonormé (A; AB, AD, AE) : déterminer les coordonnées de I, J et N, vérifier l'orthogonalité de IJ et NF, calculer l'aire du triangle FIJ, prouver que le… - Exercice 2 - Partie A · Probabilités conditionnelles et indépendance
Partie A : étude du cas particulier où n = 2. Arbre pondéré des déplacements successifs du robot, calcul de P(D_1 ∩ D_2), formule des probabilités totales pour montrer que p_2 = 7/12, et calcul de la… - Exercice 2 - Partie B · Suites : récurrence, convergence et limites
Partie B : étude d'une suite arithmético-géométrique liée au déplacement d'un robot (relation de récurrence, démonstration par récurrence, convergence, suite géométrique auxiliaire, calcul de la… - Exercice 2 - Partie C · Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale
Partie C : Calculer la probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout de dix déplacements indépendants d'un mètre (probabilité de déplacement vers la droite de 3/4), arrondi à 10^-3. - Exercice 3 - Partie A - Question 1 · Fonctions exponentielle et logarithme népérien
Partie A, question 1 : Montrer que le point A(ln 5 ; 3) appartient à la courbe représentative C_f de la fonction f(x) = 6 / (1 + 5e^(-x)). - Exercice 3 - Partie A - Question 2 · Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Partie A, question 2 : Montrer que la droite d'équation y = 6 est une asymptote à la courbe C_f. - Exercice 3 - Partie A - Questions 3 et 4 · Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité
Partie A, questions 3 et 4 : calcul de f'(x), variations de f, étude de f''(x), convexité et comparaison de f avec sa tangente en 0. - Exercice 3 - Partie A - Question 5 · Calcul intégral
Partie A, question 5 : déterminer k pour que F_k(x) = k ln(e^x + 5) soit une primitive de f sur R, puis calculer l'aire sous C_f entre x = 0 et x = ln 5. - Exercice 3 - Partie B · Primitives et équations différentielles
Partie B : étude de l'équation différentielle non linéaire y' = y - (1/6)y^2 à l'aide d'un changement de fonction h = 1/g. - Exercice 4 - Question 1 · Suites : récurrence, convergence et limites
On considère le script Python de la fonction seuil(S) qui calcule les termes de la suite définie par u_0 = 7 et u_{n+1} = 1.05*u_n + 3. Indiquer si l'affirmation 1 (« l'instruction seuil(100) renvoie… - Exercice 4 - Question 2 · Suites : récurrence, convergence et limites
Exercice 4, Question 2 : Soit $(S_n)$ la suite définie par $S_n = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n}$. Indiquer si l'affirmation « la suite $(S_n)$ converge vers $\frac{5}{4}$ »… - Exercice 4 - Question 3 · Combinatoire et dénombrement
Dans une classe composée de 30 élèves, indiquer si l'affirmation « on peut former 870 binômes de délégués différents » est vraie ou fausse en justifiant la réponse. - Exercice 4 - Question 4 · Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires
On considère la fonction f définie sur [1 ; +infini[ par f(x) = x(ln x)^2. Déterminer si l'affirmation « l'équation f(x) = 1 admet une solution unique dans l'intervalle [1 ; +infini[ » est vraie ou… - Exercice 4 - Question 5 · Calcul intégral
Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant la réponse : \int_0^1 x e^{-x} dx = (e - 2)/e.
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