Exercice 1 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Exercice 1 (5 points)

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question: « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que:

65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non »;

98 % des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

On note $R$ l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et $Q$ l'événement « l'étudiant a répondu

On interroge au hasard dix étudiants. Les variables aléatoires $N_1, N_2, \dots, N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20\;\ 0{,}615)$.

5.

Soit $S$ la variable définie par $S = N_1 + N_2 + \dots + N_{10}$. Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.

6.

On considère la variable aléatoire $M = \dfrac{S}{10}$.

a.

Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ?

b.

Justifier que $E(M) = 12{,}3$ et $V(M) = 0{,}47355$.