Exercice 4 - Parties A et B · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 1)

1. a. Déterminer la limite de $f$ en $0$

Réponse : $-\infty$

1. a. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$

Réponse : $+\infty$

1. a. Justification du calcul des limites

Réponse : Par somme et produit des limites en 0 et en $+\infty$.

1. b. Montrer que pour tout $x \in ]0\,;\,+\infty[$, $f'(x) = \frac{2x+1}{2x}$

Réponse : $f'(x) = 1 + \frac{1}{2}\times\frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2x} = \frac{2x+1}{2x}$

1. c. Sens de variation de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Réponse : Strictement croissante

1. c. Justification du sens de variation

Réponse : $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$

1. d. Convexité de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$

Réponse : Concave

1. d. Justification de la convexité

Réponse : $f''(x) = -\frac{1}{2x^2} < 0$

2. a. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0\,;\,+\infty[$ et que $\alpha \in [1\,;\,2]$

Réponse : Sur $]0\,;\,+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante. $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Comme $0 \in ]-\infty\,;\,+\infty[$, d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. De plus, $f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = \frac{1}{2}\ln(2) > 0$, donc $\alpha \in [1\,;\,2]$.

2. b. Signe de $f(x)$ sur $]0\,;\,\alpha[$

Réponse : $-$ (ou négatif)

2. b. Signe de $f(x)$ en $\alpha$

Réponse : 0

2. b. Signe de $f(x)$ sur $]\alpha\,;\,+\infty[$

Réponse : $+$ (ou positif)

2. c. Montrer que $\ln(\alpha) = 2(2 - \alpha)$

Réponse : $f(\alpha) = 0 \iff \alpha - 2 + \frac{1}{2}\ln(\alpha) = 0 \iff \frac{1}{2}\ln(\alpha) = 2 - \alpha \iff \ln(\alpha) = 2(2 - \alpha)$

Partie B - 1. Calculer $g'(x)$ puis vérifier que $g'(x) = x f\left(\frac{1}{x}\right)$

Réponse : $g'(x) = -\frac{7}{4}x + 1 - \frac{1}{2}x\ln(x) - \frac{1}{4}x = -2x + 1 - \frac{1}{2}x\ln(x) = x\left(1 - 2 - \frac{1}{2}\ln(x)\right) = x\left(\frac{1}{x} - 2 + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = x f\left(\frac{1}{x}\right)$

Partie B - 2. a. Justifier que pour $x \in \left]0\,;\,\frac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\frac{1}{x}\right) > 0$

Réponse : Comme $0 < x < \frac{1}{\alpha}$, par décroissance de la fonction inverse, $\frac{1}{x} > \alpha$. Or $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f(\alpha) = 0$, donc $f\left(\frac{1}{x}\right) > f(\alpha) = 0$.

Partie B - 2. b. Variation de $g$ sur $\left]0\,;\,\frac{1}{\alpha}\right]$

Réponse : Strictement croissante

Partie B - 2. b. Variation de $g$ sur $\left[\frac{1}{\alpha}\,;\,1\right]$

Réponse : Strictement décroissante