Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2024

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

1.

On considère une suite $(t_n)$ vérifiant la relation de récurrence:

pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1} = -0,8t_n + 18$.

Affirmation 1: La suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = t_n - 10$ est géométrique.

Vraie

Fausse

2.

On considère une suite $(S_n)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul:

$$3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4$$

La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $u_n = \dfrac{S_n}{n}$.

Affirmation 2: La suite $(u_n)$ converge.

Vraie

Fausse

3.

On considère la suite $(v_n)$ définie par:

$$v_1 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n \ge 1, \quad v_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{v_n}$$

Affirmation 3: pour tout entier naturel $n \ge 1$, $v_n = \dfrac{n+1}{n}$.

Vraie

Fausse

4.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \text{e}^n - n$.

Affirmation 4: la suite $(u_n)$ converge.

Vraie

Fausse

5.

On considère la suite $(u_n)$ définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de $u_n$.

def u(n):

valeur = 2

for k in range(n):

valeur=0.5*(valeur+2/valeur)

return valeur On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$:

$$\sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2$$

Affirmation 5: La suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$.

Vraie

Fausse