Exercice 1.B.1-2 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Métropole 2 Bis 2024

Partie B

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions.

On choisit au hasard un échantillon de 1000 clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces 1000 clients répondent.

Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client.

La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de 50 euros versée sur la carte de fidélité.

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1000 clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des 1000 clients. On admet que son espérance $E(Y_1)$ est égale à $30\,000$ et que sa variance $V(Y_1)$ est égale à $100\,000$.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1000 clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1000 clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée.

On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1000$ et $0{,}47$ et que $Y_2 = 50X_2$.

On note $Y = Y_1 + Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux 1000 clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y}{1000}$.

1.

Calculer l'espérance $E(X_2)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

2.

Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à 53,5 et que sa variance $V(Z)$ est égale à 0,72275.