Exercice 2 - Partie A · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 2 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d'un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.

Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\frac{1}{3}$.

S'il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\frac{3}{4}$.

S'il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\frac{1}{2}$.

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on note:

$D_n$ l'évènement: « le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement »;

$\overline{D_n}$ l'évènement contraire de $D_n$;

$p_n$ la probabilité de l'évènement $D_n$.

On a donc $p_1 = \frac{1}{3}$.

Partie A: étude du cas particulier où $n = 2$

Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.

1.

Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant:

$P(D_1) =$

$P(\overline{D_1}) =$

$P_{D_1}(D_2) =$

$P_{D_1}(\overline{D_2}) =$

$P_{\overline{D_1}}(D_2) =$

$P_{\overline{D_1}}(\overline{D_2}) =$

2.

Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite.

3.

Montrer que $p_2 = \frac{7}{12}$.

4.

Le robot s'est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu'il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement ?