Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Métropole France 2 (2024)

Énoncé

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants:

A(2;0;0),B(0;4;3),C(4;4;1),D(0;0;4)etH(−1;1;2).A(2; 0; 0),\quad B(0; 4; 3),\quad C(4; 4; 1),\quad D(0; 0; 4)\quad\text{et}\quad H(-1; 1; 2).

Affirmation 1:

Les points AA, CC et DD définissent un plan P\mathcal{P} d'équation 8x−5y+4z−16=08x - 5y + 4z - 16 = 0.

Affirmation 1:

Affirmation 2:

Les points AA, BB, CC et DD sont coplanaires.

Affirmation 2:

Affirmation 3:

Les droites (AC)(AC) et (BH)(BH) sont sécantes.

Affirmation 3:

On admet que le plan (ABC)(ABC) a pour équation cartésienne x−y+2z−2=0x - y + 2z - 2 = 0.

Affirmation 4:

Le point HH est le projeté orthogonal du point DD sur le plan (ABC)(ABC).

Affirmation 4:

Énoncé: Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Affirmation 1 : les points A, C et D définissent un plan P d'équation 8x - 5y + 4z - 16 = 0.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 1

Réponse : A, C et D ne sont pas alignés car vec(AC)(2;4;1) et vec(AD)(-2;0;4) ne sont pas colinéaires. En testant leurs coordonnées dans 8x - 5y + 4z - 16 = 0, on vérifie que A, C et D appartiennent bien au plan.

Affirmation 2 : les points A, B, C et D sont coplanaires.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 2

Réponse : Les coordonnées de B ne vérifient pas l'équation du plan (ACD) : 8(0) - 5(4) + 4(3) - 16 = -24 != 0, donc B n'appartient pas à ce plan et les 4 points ne sont pas coplanaires.

Affirmation 3 : les droites (AC) et (BH) sont sécantes.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Les vecteurs directeurs vec(AC)(2;4;1) et vec(BH)(-1;-3;-1) ne sont pas colinéaires. Le système d'intersection des représentations paramétriques admet une solution unique pour t = -5 et t' = 8.

Affirmation 4 : le point H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 4

Réponse : H appartient à (ABC) car -1 - 1 + 2(2) - 2 = 0, et vec(DH)(-1;1;-2) est colinéaire au vecteur normal n(1;-1;2) du plan (ABC) (vec(DH) = -n).

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