Exercice 4 - Partie C · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 1)

Exercice 4 (6 points)

Partie A: étude de la fonction $f$.

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par: $f(x) = x - 2 + \frac{1}{2}\ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

Partie C: un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous:

La courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$;

La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = -\frac{7}{8}x^2 + x$ sur l'intervalle $]0; 1]$.

On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x = \frac{1}{\alpha}$ et $x = 1$.

On rappelle que $\ln(\alpha) = 2(2 - \alpha)$.

1. a.

Justifier la position relative des courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $]0; 1]$.

1. b.

Démontrer l'égalité:

$$\int_{\frac{1}{\alpha}}^1 x^2 \ln x\,\mathrm{d}x = \frac{-\alpha^3 - 6\alpha + 13}{9\alpha^3}$$

2.

En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.