Exercices de Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité

34 exercices de Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité tombés au Bac de Mathématiques (2021-2026). Avec corrigé détaillé.

Exercice 4 - Analyse de fonction · Métropole 2026 (sujet 1)

Partie A : À partir de la représentation graphique de f et de sa tangente TA en A(0 ; 1), justifier que a = 1, déterminer graphiquement f'(0) et le signe de f''(1), calculer f'(x) puis en déduire b = 4. Partie B : Avec f(x) = 1 + (4 ln(x+1))/(x+1), justifier l'asymptote horizontale y = 1, résoudre 1 - ln(x+1) > 0,…

Exercice 4 - Partie B · Métropole 1 remplacement 2026

Partie B : étude d'une fonction modélisant la quantité de médicament dans le sang f(t) = 4t*exp(-1.5t). Limite en l'infini, calcul de dérivée, variations, maximum, théorème des valeurs intermédiaires et encadrement de la solution, validation de deux conditions cliniques (temps d'élimination et quantité moyenne).

Exercice 4 - Dérivation · Métropole 2026 (sujet 2)

Exercice 4 (Partie A questions 1 et 2, Partie B question 2) : Lecture graphique de f'(1), de la solution de f(x) = 0 et du nombre dérivé f'(1/2) via le coefficient directeur de la tangente. Calcul de la dérivée de f(x) = (2x - 1)e^(-2x+3) et établissement du tableau de variations complet de f sur [0 ; +inf[.

Exercice 2 - Questions 3, 4.a-c, 5 · Métropole 2 remplacement 2026

Exercice 2, questions 3, 4.a-c et 5 : Calcul de la dérivée f', étude des variations, unicité de la racine alpha de f(x)=0, valeur approchée de alpha, signe de f, et position relative par rapport à la tangente en 0.

Exercice 2 - Dérivation et convexité · Métropole 2025 (sujet 1)

Exercice 2 : Partie A (questions 1 à 3 : déterminer f'(1), le nombre de solutions de f'(x) = 0 sur ]0; 3], et le signe de f''(0,2)) et Partie B (question 3 : calcul de f''(x), convexité de f, point d'inflexion et position de Cf par rapport à la tangente TB).

Exercice 1 - Dérivation · Métropole 1 remplacement 2025

Partie B, question 1 : Montrer que f'(t) = (-0,4t + 0,6)e^(-0,4t) pour t dans [0 ; 6], puis étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

Exercice 3 - Questions 3 et 4 · Métropole 2025 (sujet 2)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :\nAffirmation 3 : D'après le graphique, la fonction f est convexe sur son ensemble de définition.\nAffirmation 4 : Pour tout réel x > 0, ln(x) - x + 1 ≤ 0, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Exercice 4 - Partie A · Métropole 2025 (sujet 2)

Partie A de l'exercice 4 : À partir de la représentation graphique de la distance d en fonction du temps t : 1. Déterminer le temps au bout duquel le chariot aura parcouru 15 m. 2. Déterminer la longueur minimale à prévoir pour la zone de freinage (asymptote horizontale). 3. Déterminer d'(4,7) et interpréter le…

Exercice 2 - Affirmation 5 · Métropole 2 remplacement 2025

Indiquer si l'affirmation 5 est juste ou fausse et justifier : Pour l'équation différentielle (E_2) : y' - y = 3e^{0,4x} avec y une fonction positive dérivable sur R, les solutions sont des fonctions convexes sur R.

Exercice 4 - Parties A et B · Métropole 2024 (sujet 1)

Partie A : étude de la fonction f(x) = x - 2 + (1/2)ln(x) (limites en 0 et +infini, dérivée, sens de variation, convexité, unicité de la solution de f(x)=0 avec alpha dans [1;2], signe de f, expression de ln(alpha)). Partie B : étude de la fonction g(x) = -(7/8)x^2 + x - (1/4)x^2 ln(x) (dérivée g'(x) = x f(1/x), signe…

Exercice 2 - Partie B · Métropole 1 remplacement 2024

Partie B : Étude de la fonction de bénéfice B(q) = 8q^2(2 - 3ln q) - 3 sur [0,01 ; +∞[ : limite en +∞, calcul de la dérivée B'(q), variations, bénéfice maximal à l'euro près, application du TVI pour résoudre B(q) = 10, et encadrement du nombre de bonbons pour un bénéfice supérieur à 100 €.

Exercice 3 · Métropole 2024 (sujet 2)

Étude complète d'une fonction avec logarithme : lectures graphiques (valeurs, tangente, convexité, conjecture de racines), étude analytique de f (limite, dérivée, variations, TVI, signe, point d'inflexion) et minimisation de la distance d'un point de la courbe au point J(0,1).

Exercice 4 - Dérivation et convexité · Métropole 2 Bis 2024

Étude graphique et algébrique d'une fonction f : lectures de f(0), f'(0) et résolution de f(x)=0, convexité, recherche des constantes a, b et lambda de la forme f(x)=(ax+b)e^(lambda x), puis limite en -infini, tableau de variations complet et étude de la convexité avec point d'inflexion pour f(x)=(x+2)e^(-x).

Exercice 3 - Partie A - Questions 3 et 4 · Métropole 2 remplacement 2024

Partie A, questions 3 et 4 : calcul de f'(x), variations de f, étude de f''(x), convexité et comparaison de f avec sa tangente en 0.

Exercice 2 - Questions 3 à 7 : Dérivation et étud… · Métropole 2023 (sujet 1)

Questions 3 à 7 de l'exercice 2 : Calcul de la dérivée f'(x), variations et minimum de f, application du théorème des valeurs intermédiaires pour alpha, déduction du signe de f, et détermination du paramètre k tel que g_k(x) >= 0.

Exercice 4 · Métropole 1 remplacement 2023

Exercice d'analyse sur l'étude d'une fonction auxiliaire g et d'une fonction f (exponentielle et logarithme népérien) : dérivées première et seconde, convexité, point d'inflexion, limites et tableau de variations.

Exercice 4 - Questions 1.c à 3.b · Métropole 2023 (sujet 2)

Questions 1.c à 3.b : Calculer la dérivée f'(x) et montrer que f'(x) = -1/(1+e^x). Dresser le tableau de variations complet de f. Déterminer une équation de la tangente T_0 en 0. Montrer que f est convexe sur R et en déduire f(x) >= -1/2 x + ln(2). Montrer que f(x) - f(-x) = -x et en déduire que T_0 et (M_a N_a) sont…

Exercice 2 - Dérivation et convexité · Métropole 2 remplacement 2023

Exercice 2, questions 1, 4 et 5 : Lectures graphiques sur la courbe de f' (coefficient directeur et intervalle de convexité), calcul de la dérivée f'(x), tableau de variations de f, étude de la convexité par le calcul avec f''(x) et coordonnées du point d'inflexion.

Exercice 1 - Partie A : Dérivation et étude de fo… · Métropole 2022 (sujet 1)

Partie A (questions 1 et 2) : Étude d'un modèle d'évolution par la fonction exponentielle f(t) = 3t*exp(-0,5t+1), calcul de la dérivée f'(t), tableau de variations, temps et quantité maximale, résolution de f(t) = 5 et détermination de la durée d'efficacité.

Exercice 4 - Question 3 : Convexité · Métropole 2022 (sujet 1)

Exercice 4 (QCM) - Question 3 : Déterminer la convexité d'une fonction f à partir de la courbe représentative de sa dérivée f'.

Exercice 1 - Question 2 · Métropole 1 remplacement 2022

Question 2 : Déduction de la convexité de la fonction f à partir de la courbe représentative de sa dérivée seconde f''.

Exercice 3 - Partie A · Métropole 1 remplacement 2022

Partie A de l'exercice 3 : étude de la fonction f(x) = (ln x)/x sur [1 ; +∞[. Calcul de la limite en +∞, dérivation et justification du signe de f'(x), tableau de variations complet, et résolution de l'équation f(x) = k selon les valeurs de k.

Exercice 2 - Dérivation et convexité · Métropole 2022 (sujet 2)

Questions 1 à 3 du QCM sur l'exploitation graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée f' (recherche d'extrema de f, convexité de f et propriétés de la dérivée seconde f'').

Exercice 4 - Fonctions et dérivation · Métropole 2022 (sujet 2)

Partie A : étude analytique de f(x)=0,06(-x^2+13,7x) et g(x)=(-0,15x+2,2)e^(0,2x)-2,2 (limites, dérivées, variations, extrema et racines). Partie B : modélisation de trajectoires de balle de golf en yards et angles de décollage/atterrissage. Partie C : comparaison des modèles avec des données réelles.

Exercice 2 - QCM : Dérivation et convexité · Métropole 2 remplacement 2022

Questions 4 et 5 : étude de la convexité de f et du nombre dérivé f''(1) à partir de la courbe représentative de la fonction dérivée f' et de sa tangente (BC).

Exercice 3 - Parties A et C · Métropole 2 remplacement 2022

Parties A et C : étude de f(x) = x - x ln x (limites en 0 et +infini, dérivée, variations, équation f(x) = x) et extremum de f_k(x) = kx - x ln x.

Exercice 1 - Dérivation et convexité · Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

Questions 1, 2 et 4 de l'exercice 1 : calcul de la dérivée f'(x), recherche d'extremum pour f et étude de la convexité de f.

Exercice A · Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Exercice A : Étude d'une fonction auxiliaire h(x) = 1 + ln(x)/x^2 (limites, dérivée, variations, théorème des valeurs intermédiaires, signe), puis application pour déterminer la position relative des courbes C1 et C2 des fonctions f1(x) et f2(x) et leur point d'intersection.

Exercice B · Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Exercice B : Étude d'une fonction exponentielle f(x) = (x+2)e^(-x). Partie I : Conjectures sur le sens de variation et la convexité de f d'après la courbe de sa dérivée f'. Partie II : Forme f(x) = x/e^x + 2e^(-x), limite en +infini, asymptote, calcul de f'(x), variations, TVI pour f(x)=2, calcul de f''(x), convexité…

Exercice 2 - Dérivation et variations · Métropole 2021 (sujet 1)

Questions 2 à 5 : Calculer f'(x), donner le tableau de variations de f, étudier le nombre de solutions de f(x) = m. Étudier la fonction g(x) = e^x(x - 1) + x^2 pour prouver l'existence d'une tangente parallèle à y = -x.

Exercice au choix - Exercice B · Métropole 2021 (sujet 1)

Étudier la fonction f(x) = x + 4 - 4ln(x) - 3/x sur ]0;+∞[ : déterminer la limite en +∞, démontrer l'expression de f'(x), donner le tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de f(x)=5/3, et étudier la convexité en précisant le point d'inflexion.

Exercice A · Métropole 2021 (sujet 2)

Exercice A : Étude de deux fonctions $f(x)=x^2 e^{-x}$ et $g(x)=e^{-x}$. Déterminer l'intersection de leurs courbes et leur position relative. Étudier la distance entre les courbes sur $[-1 ; 1]$, sa dérivée, son maximum et une valeur approchée. Déterminer le nombre d'intersections entre $C_g$ et la droite d'équation…

Exercice B · Métropole 2021 (sujet 2)

Exercice B (Baccalauréat) en trois parties : étude de la fonction auxiliaire g(x) = ln(x) + 2x - 2 (limites, variations, TVI, signe), étude de f(x) = (2 - 1/x)(ln(x) - 1) (dérivation, variations, racines et signe), puis étude des variations et tangentes horizontales d'une primitive F de f.

Exercice 3 · Métropole 2 remplacement 2021

Exercice 3 : Étude de fonctions avec exponentielles f(x) = x - e^(-2x) et g(x) = e^(-x). Limites, variations, théorème des valeurs intermédiaires (solution alpha), distance minimale à l'origine OM et orthogonalité de la tangente à la courbe C au point A.

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