Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Exercice 3 (6 points)

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2\,;\,+\infty[$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$. On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0\,;\,-1)$.

Partie A: exploitation du graphique

À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

1.

Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.

2.

La courbe $\mathcal{C}_f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.

3.

Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.

Partie B: étude de la fonction $f$

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2 + 2x - 1 + \ln(x + 2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1.

Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.

On admet que $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

2.

Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x) = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.

3.

Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2\,;\,+\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.

4.

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2\,;\,+\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

5.

En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2\,;\,+\infty[$.

6.

Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

Partie C: une distance minimale

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2\,;\,+\infty[$ par $g(x) = \ln(x + 2)$.

On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-contre.

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

On considère la fonction $h$ définie sur $]-2\,;\,+\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

1.

Justifier que pour tout $x > -2$, on a: $h(x) = x^2 + [\ln(x + 2) - 1]^2$.

2.

On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2\,;\,+\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée. On admet également que pour tout réel $x > -2$,$$h'(x) = \frac{2f(x)}{x+2}$$où $f$ est la fonction étudiée en partie B.

a.

Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2\,;\,+\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.

b.

En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.

3.

On notera $M_\alpha$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $\alpha$.

a.

Montrer que $\ln(\alpha + 2) = 1 - 2\alpha - \alpha^2$.

b.

En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point $M_\alpha$ et la droite $(JM_\alpha)$ sont perpendiculaires.

On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.