Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 1)

Exercice 3 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.

On considère les points $A(5; 5; 0)$, $B(0; 5; 0)$, $C(0; 0; 10)$ et $D\left(0; 0; -\frac{5}{2}\right)$.

1.

a.

Montrer que $\vec{n_1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.

b.

En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne: $x - y = 0$.

2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = \frac{5}{2}t \\ y = 5 - \frac{5}{2}t \\ z = 0 \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}.$$

a.

On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; 0\right)$.

b.

Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.

3.

a.

Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.

b.

En déduire que l'aire du triangle $ABH$ est égale à $\frac{25}{4}$.

4.

a.

Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.

b.

En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

5. On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.