Exercice 2 - Questions 5 et 6 · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 1)

Exercice 2 (5 points)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent 60 % des ventes, les achats en magasin d'électroménager 30 % des ventes et ceux en grandes surfaces 10 % des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de:

75 % pour les clients sur internet;

90 % pour les clients en magasin d'électroménager;

80 % pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants:

$I$: « le client a effectué son achat sur internet »;

$M$: « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager »;

$G$: « le client a effectué son achat en grande surface »;

$S$: « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\overline{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

Exercice 2 — Questions 5 et 6

Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.

5.a

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

5.b

Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.

6.

En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,99.