Exercice 4 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Métropole 2 Bis 2024

Exercice 4 (6 points)

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés:

la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$;

la tangente $T$ à $C_f$ en son point $N(0\,;\,2)$;

le point $M(-2\,;\,0)$ appartenant à $C_f$ et $P(2\,;\,0)$ appartenant à la tangente $T$.

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $]{-\infty}\,;\,-1]$.

Partie A: étude graphique

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

1. a.

Donner $f(0)$.

1. b.

Déterminer $f'(0)$.

2.

Résoudre l'équation $f(x) = 0$.

3.

La fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Partie B: recherche d'une expression algébrique

On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{\lambda x}$, où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

1.

Justifier que $b = 2$.

2.

Justifier que $-2a + b = 0$ puis en déduire la valeur de $a$.

3.

Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.

Partie C: étude algébrique

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$.

1.

Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

2.

On admet que $f'(x) = (-x - 1)\mathrm{e}^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.

3. a.

Étudier la convexité de $f$.

3. b.

Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $C_f$.