Exercice 2 - Partie A : Modèle discret · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50\text{ m}^3$ d'eau. On rappelle que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ L}$. Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0{,}01\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0{,}70\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Partie A: étude d'un modèle discret.

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.

1.

Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0{,}3\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0{,}7$.

On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0{,}92v_n + 0{,}3$.

2.a.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n \le v_{n+1} \le 4$.

2.b.

Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.

3.

À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.

4.

Reproduire et compléter l'algorithme ci-contre écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s$.

def alerte_chlore(s):

n = 0

v = 0.7

while:

n =

v =

return n

5.

Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.